1. Stoks formulasi. Vektor maydon uyurmasi

---

30-MA’RUZA.
Stoks formulasi. Si rt in tegrallari tadbiq lari .
Reja:
1. Stoks formulasi.
2. Vektor maydon uyurmasi. 
3. Uyurmaning invariant ta’rifi. 
4. Uyurmaning fizik ma’nosi. 
 
Stoks formulasi. 
T e o r e m a . Agar P(x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )funksi ya lar o’zlarin ing biri nchi 
tartibl i husus iy hos ilalari bil an birga 
sohada uzluksi z bo’lsa , u xolda 
quyidagi formula o’rinli bo’ladi: 
(1) 
bu yerda 
 — birlik vektor 
normalining sirtga yo’naltiruvchi kosinuslari, 
L — bu sirtning chegarasi, 
(1) formula Stoks formulasi deyiladi (99-shakl). Bu formulada L konturbo’yicha integrallash 
yo’nalishi sirtning tanlangan tomoni bilan qo’yidagi qoidabo’yicha moslashtiriladi: n
0
normalning oxiridan konturni aylanib o’tish soat miliga qarshi yo’nalishda ko’zatiladi.
Isboti.  sirt hamma koordinata tekisliklariga bir qiymatli proeksiyalansin. Bu sirtning 
tenglamasi z=z(x,y),  
bu yerda z (x, y)funksiya D
1
sohada differensiallanuvchi funksiya bo’lib, u sirtning 
Oxy tekislikdagi proeksiyasi bo’ladi. 
D
1
sohaning chegarasini L
1 
bilan belgilaymiz shu bilan birgaL
1
kontur L ning 
Oxytekislikdagi proeksiyasi bo’ladi. 
sirtning yuqori tanlab olamiz bunga mos holda o’ngdagi orientatsiy ani xam 
tanlab olamiz. 
Ushbu 
egri chiziqli integralni avval 
L
1
kontur bo’yicha, keyin esa Grin formulasidan 
foydalanib D soxa bo’yicha karrali integralga 
almashtiramiz va nixoyat, 
sirt bo’yicha sirt 
integraliga almashtiramiz. 

---

Chegara 
sirtga tegishli bo’lgani uchun Lkontur nuqtalarining koordinatalari z=z(x,y) 
tenglamani qanoatlantiradi va binobarin, R {x, y, z)funksiyaning Ldagi qiymatlari R (x, y, z(x, 
y))funksiyaning Ldagi mos qiymatlariga teng. Lva L
1
mos bo’linishlarning Ox o’qidagi 
proeksiyalari mos tushadi, demak, Lva L
1
kontur bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrallar 
uchun integral yig’indilar ham mos tushadi. Shuning uchun 
 
 
Buning o’ng qismiga Grin formulasini va murakkab funkdiyani differensiallash qoidasini 
qo’llab, 
 
nitopamiz. 
dxdynidxdy=
d formulabo’yichad sirtningelementiorqalialmashtirib, 
D
1 
sohabo’yichakarraliintegralnisirtbo’yichaintegralgakeltiramiz: 
(2) 
Ma’lumki, 
 
 
vektor z=z(x,y) sirtga perpendikulyar, va binobarin, 
normalning birlik vektoriga kollinear: 
. 
Shuning uchun bu vektorlarning kollinearlik sharti bajarilishi kerak: