1 Tok zichligining o'rtachasi 2

Reja
1

• Tok zichligining o'rtachasi

2

• Maksvell va bog’lanish tenglamalari

22-MAVZU. MAKSVELL VA BOG’LANISH TENGLAMALARI
Tok zichligining o'rtacha qiymatini muhitning xossalari to'g'risidagi umumiy tasavvurlardan kelib chiqib aniqlaymiz. Bunda quyidagi uchta farazni asos qilib olamiz:

• Tashqi maydonga kiritilgan jism hajmidagi o'rtacha maydon atom ichidagi maydondan kichik bo'lishi kerak.

Bu faraz, maydon uchun yozilgan tenglamalarning chiziqli bo'lishini va muhitning elektr, magnit va boshqa xossalari tashqi maydonga bog'liq bo'lmasligini ta'minlaydi.

2. Muhit bir jinsli bo'lishi kerak.
Bu faraz ko'rilayotgan hajmda muhit xossalarini aniqlovchi kattaliklar birday bo'lishini ta'minlaydi.
3. Muhit izotrop bo'lishi kerak.
Bu hol muhitning xossalarini aniq­lovchi kattaliklar skalyar bo'lishiga ishora qiladi.
Tok zichligining o'rtacha qiymati umuman olganda tashqi elektr va magnit maydon kuchlanganliklariga, ularning vaqt va koordinata bo'yicha hosilalariga bog'liq bo'lishi mumkin, ya'ni
Maydon kuchsiz va hosilalari sekin o'zgarishini hisobga olib, f funksiyani argumentlarining darajalari bo'yicha qatorga yoyamiz. Maydon tenglamalari chiziqli bo'lishi uchun qatorda o'zgaruvchilarning birinchi darajalari ishtirok etgan hadlar bilan chegaralanamiz.
Tok zichligi qutb vektor bo'lganligi uchun qatordagi hadlar qutb vektoriga hos bo'lishi kerak. Ular skalyar ham, aksial vektor ham bo'lishi mumkin emas.
Elektr maydon kuchlanganligining dekart koordinata o'qlariga proeksiyalaridan koordinatalar bo'yicha hosilalarni guruhlarga to'plab divE va rotE larni hosil qilish mumkin. Bu kattaliklarga proporsional bo'lgan hadlar qatorda ishtirok etmaydi. Chunki, bulardan birinchisi skalyar bo'lsa, ikkinchisi aksial vektordir.
Shu vaqtda E va — lar qutb vektorlari bo'lganligi uchun, bularga proporsional hadlar qatorda ishtirok etad
Magnit induksiya vektori va uning vaqt bo'yicha hosilasi aksial vektor bo'lganligi uchun bunday hadlar qatorda bo'lishi mumkin emas. Aksincha. rotB qutb vektori bo'lib, qatorda albatta ishtirok etadi.
Nolinchi had nolga teng bo'ladi. Chunki, maydon bo'lmaganda tok ham nolga teng bo'ladi. Shunday qilib, yuqoridagi mulohazalarga asoslanib, tok zichligining o'rtachasi uchun quyidagi ifodani yozish mumkin:
Bu yerda γ, æ, va α muhitning xossalarini ifodalovchi skalyar kattaliklardir. Uchinchi haddagi с yorugiik tezligi bo'lib, qulaylik uchun kiritilgan.
Qatordagi har bir hadning fizik ma'nosini ochamiz.
Muhitga faqat o'zgarmas elektr maydon ta'sir qilayotgan bo'lsin deb ko'ramiz. Bu holda (2) dagi ikkinchi va uchinchi hadlar nolga teng bo'lib,
Ko'rinib turibdiki, tashqi elektr maydon ta'sirida unga proporsional tok yuzaga kelar ekan. Bu tok o'tkazuvchanlik toki deyiladi va muhitdagi erkin zaryadlarning tartibli harakati bilan bog'langan. γ o'tkazuvchan­lik koeffitsienti deyiladi. Toza dielektriklarda bu kattalik nolga teng bo'ladi. Yaxshi o'tkazgichlarda juda katta qiymatga ega bo'ladi. Bun­day tok o'zgaruvchi maydonda ham mavjud bo'ladi. O'tkazuvchanlik toki umumiy holda koordinata va vaqtning funksiyasi bo'lib, ixtiyoriy vaqtda muhitning ko'rilayotgan nuqtasidagi elektr maydon kuchlangan­ligi bilan aniqlanadi. (3) Om qonunining differensial shakli deyiladi.
Bog'langan zaryadlar erkin zaryadlarga aylanmasligi zaryadning saqlanish qonuni har ikkala toifadagi zaryadlar uchun mustaqil ravishda bajarilishini ko'rsatadi. Ya'ni uzluksizlik tenglamasi bilan bir vaqtda erkin zaryadlar va o'tkazuvchanlik toki uchun ham uzluksizlik tenglamasini yozish mumkin:
Tok zichligi ifodasidagi ikkinchi hadning fizik ma'nosini ochishga kirishamiz.
Buning uchun (2) ifodaning har ikkala tomonidan divergensiya olamiz. Bunda oxirgi hadning divergensiyasi nolga teng bo'lganligi uchun quyidagi hosil bo'ladi:
To'liq va o'tkazuvchanlik toklari ishtirokidagi uzluksizlik tenglamalari (4) dan foydalanib (5) ni quyidagi ko'rinishda yozamiz:
Bu yerda () bog'langan zaryadlar zichligiga tengligini inobatga olsak,
(ρb=-divP) va (7) ifodalarni taqqoslab, qutblanish vektori elektr may­don kuchlanganligiga proporsional ekanligini aniqlaymiz:
Proporsionallik koeffitsienti æ qutblanish koeffitsienti yoki dielektrik kirituvchanlik deb ataladi. Bu kattalik doimo musbat bo'lganligi uchun qutblanish vektori doimo elektr maydon kuchlanganligi bilan bir tomonga yo'nalgan bo'ladi.
Tok zichligining o'rtacha qiymatini aniqlovchi (2) ifodadagi ik­kinchi hadni olingan oxirgi natijaga ko'ra quyidagi ko'rinishda yozamiz:
Ko'ramizki, qutblanishning vaqt bo'yicha o'zgarishi qandaydir tokni yuzaga keltirar ekan.
Bu tok qutblanish toki deb atalib, o'zgaruvchi tashqi elektr maydon ta'sirida qutblanishning vaqtga bog'liq holda ozgarishi natijasida paydo bo'ladi.
Endi (2) dagi uchinchi hadni ko'rib chiqamiz.
Buning uchun uning radius-vektor r bilan vektor ko'paytmasini tashkil qilamiz va jismning hajmi bo'yicha integrallaymiz. Ikkinchi had bilan bog'liq bo'lgan integralni tekshirib chiqamiz:
Bu yerda integrallash o'zgaruvchisi r vaqtga bog'liq emasligini hisobga oldik. Qolgan hadlarni quyidagi ko'rinishda yozib olamiz:
Magnit momentining ta'rifiga ko'ra (10) ni bog'langan zaryadlar tokining magnit momenti zichligi
orqali yozish mumkin:
Ko'ramizki, magnit momentining zichligi magnit induksiya vektoriga proporsional ekan, ya'ni
Shunday qilib, (2) dagi oxirgi had ikkinchi had kabi bog'langan zaryadlar harakatiga aloqador bo'lib, magnit momenti bilan aniqlanganligi uchun magnitlanish toki deb ataladi.
Qutblanish toki zichligi bilan magnitlanish toki zichligining yig'indisi bog'langan zaryadlar tokining zichligi deb yuritiladi, ya'ni
Bu yerda jP va jM mos ravishda qutblanish va magnitlanish toklarining zichligi.
Sunday qilib muhitda tok erkin va bog'langan zaryadlarning harakati tufayli yuzaga kelishini aniqladik.