1. To’plam ustida amallar

1.To’plam ustida amallar.
To'plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan boiib. unga. ta'rif berilmaydi. To'plam so'zining sinonimlari sifatida ob’ektlar jamlanmasi yoki elementlar majrnuasi so'z birikmalaridan foydalaniladi.
To'plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A, B ,... ularning elementlarini esa kichik - a,b.... harflar bilan belgilaymiz. Biz asosan quyidagi belgilashlardan fovdalanamiz. N — natural sonlar to'plami. Z — butun sonlar to'plami. Q — ratsional sonlar to'plami. R — haqiqiy sonlar to'plami, С — kompleks sonlar to'plami, R₊ = [0, ), Z+ = {0} U N hamda Rⁿ sifatida n — o'lchamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi.
Matematik simvollarning ma'nolariga to'xtalamiz. a A belgisi a element A to'plamga tegishli ekanligini bildiradi. Bu tasdiqning inkori a A shaklda yoziladi va a element A to'plamga tegishli emas deb o'qiladi. А В belgi A to'plamning barcha elementlari В to'plamga ham tegishli ekanligini bildiradi. Bu holda .4 to'plam В to'plamning qismi deyiladi. Masalan, natural sonlar to'plami haqiqiy sonlar to'plamining qismi bo’ladi. Agar A va В to'plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan bo’lsa, u holda ular teng to'plamlar deyiladi va A = В shaklda yoziladi. Ko'pincha. to'plamlarning tengligini isbotlashda А В va В A munosabatlarning bajarilishi ko'rsatiladi ([1] ga qarang). Ba’zida birorta ham elementi mavjud bo'lmagan to'plamlarni qarashga to'g'ri keladi. Masalan, 2 x<2 qo'sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to'plami yoki |x| = -1 tenglamaning yechimlari to'plami va hokazo. Bunday to'plamlar uchun maxsus bo‘sh to ‘plam nomi berilgan va uni belgilashda simvoldan foydalaniladi. Ma’lumki, har qanday to'plam bo'sh to'plamni o'zida saqlaydi va har qanday to'plam o'zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To'plamlarning bo'sh to'plamdan va o'zidan farqli barcha qism to'plamlari xos qism to'plamlar deyiladi. o'quv qo'llanmada va belgilari mos ravishda va hamda yoki so'zlariga mos keladi.
Ixtiyoriy tabiatli A va В to'plamlar berilgan bo'lsin.

to'plam A va В to'plamlarning yig'indisi yoki birlashmasi deyiladi.

to'plam A va, В to'plamlarning kesishmasi deyiladi. Ixtiyoriy (chekli, cheksiz) sondagi A_a to'plamlarning yig'indisi va kesishmasi ham shunga o'xshash aniqlanadi:
A va В to'plamlarning ayirmasi deb

to'plamga aytiladi. Agar В A bo'lsa, A B to'plam В to'plamning A to'plamgacha to’ldiruvchi to'plami deyiladi va C_AB:=СВ shaklda belgilanadi. Ba’zah, A va В to'plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini kiritish maqsadga muvofiq bo'ladi. A B va B A to'plamlarning birlashmasidan iborat to'plamga A va В to'plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi. ya’ni

Agar A, В G bo’lib, G da “+” amah aniqlangan bo’lsa, u holda

to'plam A va В to'plamlarning arifmetik yig’indisi deyiladi. X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deganda

to'plam tushuniladi. X Y to'plamning ixtiyoriy R qism to’plami munosabat deyiladi. x element (x,у) juftlikning birinchi koordinatasi, у element esa uning ikkinchi koordinatasi deyiladi va mos ravishda x = pr₁(x,y) va у = рr₂(х. у) kabi belgilanadi. Xuddi shunday X Y to'plamning ixtiyoriy R qism to'plamining birinchi va ikkinchi koordinatalariga proyeksiyalari aniqlanadi:

Bu to'plamlar R munosabat ning mos ravishda aniqla.nish sohasi va qiymatlar sohasi deyiladi.
2.To’plamlar uchun ikkilik prinsipi (Isbotini keltiring).
To'plamlar nazariyasida muhim o'rin tutadigan va ikkilik prinsipi deb nomlanuvchi quyidagi munosabatni isbotlang.
Yigindining toidiruvchisi toidiruvchilar kesishmasiga teng:
(1)
Isbot. Ixtiyoriy elementni olamiz. bu yerdan x E va ekanligi kelib chiqadi. Bundan ixtiyoriy a uchun x ning A_a to'plamga tegishli emasligiga kelamiz. Demak. x element A_a to'plamlarning to’ldiruvchilarida yotadi. Shunday qilib. ixtiyoriy a uchun x A_a munosabat o'rinli. bundan biz ga ega bo'lamiz. Bu esa
(2)
munosabatni keltirib chiqaradi. Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Agar bo’lsa. u holda barcha a larda x E A_a bo’ladi va x element А_a to'plamlarning birortasiga ham tegishli emas, bu esa ekanligini bildiradi. Demak, ekan. Bundan biz
(3)
ga kelamiz. (2) va (3) munosabatlar (1) tenglikni isbotlaydi.
3. Akslantirishlar. Akslantirishlarning turlari.
Ma'lumki matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta ’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror to'plam bo’lsin. Agar har bir x X songa f qoida bo'yicha aniq bir у = f(x) son mos qo'yilgan boisa, u holda X to'plamda f funksiya aniqlangan deyiladi. Bunda
x to'plam f funksiyaning aniqlanish, sohasi deviladi: bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil bo'lgan E(f) to'plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni


Agar sonli to'plamlar o'rnida. ixtiyoriy to'plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Bizga ixtiyoriy X va Y to'plamlar berilgan bo’lsin. Agar har bir x X elementga biror f qoida bo'yicha Y to’plamdan yagona. у element mos qo'yilsa, u holda X to'plamda aniqlangan Y fo’plamdan qiyrnatlar qabul qiluvchi f akslantirish, berilgan deyiladi. Bundan keyin funksiya termini o'rniga akslantirish atamasini ishlatamiz. Agar Y=R yoki Y = С boisa f ga X da aniqlangan haqiqiy yoki kompleks qiymatli funksiya deyiladi.
Aniqlanish sohasi X bo'lgan f: X Y akslantirishda f(X) = Y tenglik bajarilsa, f akslantirish X to'plamni Y to'plamning ustiga yoki syuryektiv akslantirish deyiladi. Agar f : X —> Y akslantirishda X dan olingan har xil x₁ va x₂ elementlarga har xil y₁=f(x₁) va y₂=f(x₂) tasvirlar mos kelsa, u holda f inyektiv akslantirish yoki inyeksiya deyiladi. Bir vaqtda ham syuryektiv
ham inyektiv bo’lgan f : X —> Y akslantirishga biyektiv akslantirish yoki biyeksiya deyiladi.
Endi f : X —> Y akslantirishga misollar keltiramiz.
Misol. Keltirilgan akslantirishning qiymatlar sohasini toping.

Yechish. f: R —> R, f(x) = x² akslantirishning qiymatlar sohasi
E(f) = [0, ) dan iborat. Chunki barcha x € R lar uchun x² 0 va ixtiyoriy у [0, ) uchun f( ) = у tenglik o'rinli.
4 bilan 5ni javobini topolmadim. Ikkalasi o’xshash.
6. Ikki to‘plam birlashmasining aksi ular tasvirlarining birlashmasiga teng, ya’ni quyidagi tenglikni isbotlang.
(4)
Isbot. Agar у € f(AUB) ixtiyoriy element bo'lsa, u holda у=f(x) bo’lib, x element A va В to'plamlardan aqalli biriga tegishli boiadi. Shunday ekan, у f(A)Uf(B). Bu yerdan f(AUВ) f (A)Uf(B). Endi teskari munosabatni ko'rsatamiz. Faraz qilaylik, у f (A) U f {B) ixtiyoriy element boisin. U holda у=f(x) bo’lib, x element A va В to'plamlardan aqalli biriga tegishli boiadi. ya’ni x A U В. Bundan, у = f(x) f(A U B)
va demak, f(A)Uf(B) f(AUB). Bu munosabatlardan (4) tenglik kelib chiqadi.
7. To‘plamlarni sinflarga ajratish. Ekvivalentlik munosabatlari.
To’plamlar va to’plamlar ustida operasiyalar tushunchasi bizning klassifikasiya haqidagi tasavvurlarimizni oydinlashtirishga imkon beradi.
Klassifikasiya – bu sinf ichida ob’ektlarning o’xshashligi va ularning boshqa sinflardagi ob’ektlardan farq qilishi asosida sinflar bo’yicha ob’ektlarni ajratish amalidir.
Matematikada klassifikasiya keng qo’llaniladi. Masalan, natural sonlar juft va toq sonlarga bo’linadi; burchaklar o’tkir, to’g’ri va
o’tmas bo’ladi.
Agar: 1) X₁, X₂,…, X_n qism to’plamlar juft-jufti bilan o’zaro kesishmasa;
2) X₁, X₂,…, X_n qism to’plamlarning birlashmasi X to’plam bilan mos tushsa, X to’plam X₁, X₂,…, X_n sinflarga ajratilgan deb hisoblanadi. Agar shu shartlardan aqalli bittasi bajarilmasa, klassifikasiya noto’g’ri hisoblanadi.
1-ta’rif. X X to'plamning ixtiyoriy R qism to’plami munosabat deyiladi, ya ’ni (a,b) R bo'lsa, a element b element bilan R munosabatda, deyiladi va shaklda belgilanadi.
2-ta’rif. Agar R munosabat quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, unga ekvivalentlik munosabati deyiladi:
1. Ixtiyoriy a X element uchun (refleksivlik);
2. Agar bo'lsa. u holda (simmetriklik):
3. Agar va bo’lsa, u holda (tranzitivlik).
8.To’plamlar sistemasi. (To’plamalar halqasi va yarim halqa).
Elementlari to'plamlardan iborat to'plam to'plamlar sistemasi deyiladi. Biz asosan oldindan berilgan X to'plamning ba’zi qism to'plamlaridan iborat sistemalarni qaraymiz. To'plamlar sistemalarini belgilash uchun biz gotik alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bizni asosan to'plamlar ustidagi ba'zi amallarga nisbatan yopiq bo'lgan sistemalar qiziqtiradi.
1-ta’rif. Agar to'plamlar sistemasi simrnetrik ayirma va kesishma amallariga nisbatan yopiq. ya'ni ixtiyoriy A,В to'plamlar uchun A B va А В bo'lsa, u holda to'plamlar sistemasiga halqa deyiladi.
2-ta’rif. Agar to'plamlar sistemasi quyidagi uch shartni qanoatlantirsa, unga yarim halqa deyiladi:
a) sistema bo'sh to'plamni saqlaydi;
b) sistema to'plamlar kesishmasi amaliga nisbatan yopiq. ya'ni A, В munosabatdan A В munosabat kelib chiqadi:
c) Agar A A₁ bo’lib, A₁ A bo’lsa. u holda sistemaning o'zaro kesishrnaydigan A₂,A₃,…..A_n cheklita elementlari mavjud bo'lib, quyidagi tasvir o’rinli bo’ladi:

Agar A to'plam o'zaro kesishmaydigan A₁, A₂, . . . . A_n to'plamlar birlashmasidan iborat bo'lsa, bu birlashma A to'plamning chekli yoyilmasi deyiladi va A= _k shaklda ham yoziladi. Ixtiyoriy to'plamlar halqasi yarim halqa bo'ladi, chunki halqa bo'sh
to'plamni saqlaydi va kesishma amaliga nisbatan yopiq.
9-ga javob topolmadim.
10.O’lchovli funksiyalar.
1-ta’rif. Agar ixtiyoriy с R uchun {x E : f (x) < c} := E( fto‘plam o'lchovli bo'lsa, f funksiya E to'plamda о’lchovli deyiladi.
1-misol. f: E R, f(x)=a= const funksiyaning o'lchovli ekanligini ta’rif yordamida ko'rsating.
Yechish. Ixtiyoriy с R uchun
E ( f < c ) = {x E : f (x) < c} =
tenglik o'rinli. E va to'plamlar o'lchovli. Demak. ixtiyoriy с R uchun E ( f < c) to'plam o'lchovli ekan. 1-ta’rifga ko'ra, f(x)= a funksiya E da o'lchovli bo'ladi.
2-ta’rif. E o'lchovli to'plamda aniqlangan f va g funksiyalar uchun
({x E : f (x) g(x)}) = 0 bo’lsa. f va g lar ekvivalent funksiyalar deyiladi va f g shaklda belgilanadi.
3-ta’rif. Agar biror xossa E to'plamning nol o’lchovli qismida bajarilmay qolgan qismida bajarilsa, bu xossa E to'plamda deyarli bajariladi deyiladi.
Endi 2-ta’rifni quyidagicha ham aytish mumkin. Agar ikki funksiya deyarli teng bo’lsa, ular ekvivalent funksiyalar deyiladi.
4-ta’rif. Agar E to'plamda aniqlangan { f_n} funksiyalar ketma-ketligining f funksiyaga yaqinlashmaydigan nuqtalari to‘plarning o'lchovi nol bo’lsa (ya'ni f_n(x) = f (x) tenglik E to'plamdagi deyarli barcha x lar uchun o’rinli bo’lsa), u holda {f_n} funksiyalar ketma-ketligi E to'plamda f funksiyaga deyarli yaqinlashadi deyiladi.
Bizga E to'plamda aniqlangan {f_n} o'lchovli funksiyalar ketma-ketligi va f o’lchovli funksiya berilgan bo’lsin.
5-ta’rif. Agar ixtiyoriy > 0 uchun
_n(x)-f(x)| })=0
tenglik bajarilsa, u holda {f_n} funksiyalar ketma-ketligi E to'plamda f funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashadi deyiladi.
1-teorema (Yegorov). E chekli o’lchovli to'plamda {f_n} funksiyalar ketma-ketligi f ga deyarli, yaqinlashsin. U holda ixtiyoriy > 0 uchun shunday E E to'plam mavjudki, funksiyalar ketma-ketligi f ga tekis yaqinlashadi.
11.Metrik fazolar.
1-ta’rif. Agar p : X X R akslantirish quyidagi uchta shartni
qanoatlantirsa unga X dagi masofa yoki metrika deyiladi:
1) (x,y) (ayniyat aksiomasi).
2) (x,y)= (y,x), simmetriklik aksiomasi).
3) (x, ) (x,y)+ (y,z), (uchburchak aksioamasi).
(X, ) juftlik esa metrik fazo deyiladi.
Odatda metrik fazo, ya'ni (X,p) juftlik bitta X harfi bilan belgilanadi. Agar X to'plamda p₁, p₂,......,p_n metrikalar aniqlangan bo'lsa, u holda(X,p₁), (X,р₂),......,(X,p_n) metrik fazolar mos ravishida X₁, X₂,. . . , X_n harflari bilan belgilanadi.
2-ta’rif. Agar shunday C₁>0 va C₂>0 sonlar mavjud bo'lib, barcha
x,у X lar uchun

1-misol. R² to'plamda x=(x_1,x₂) va у=(y₁,y₂) elementlar uchun kiritilgan ushbu

akslantirishlardan qavsi biri metrika bo’ladi?
Yechish. p₁ akslantirishning metrika aksiomalarini qanoatlantirishini tekshiramiz.
p₁(x,y) 0 shart modulning manfiymasligidan kelib chiqadi. Faraz qilavlik.
p₁(x,y)=|x₁-y₁|+|x₂-y₂|=0 bo’lsin. U holda | x₁-y₁ |=| x₂-y₂ |
bo'ladi. Bundan x₁=y₁, x₂=y₂, ya’ni x = y. Endi x = у bo'lsin. va’ni x₁=y₁, x₂=y₂. Bu yerdan

ekanligini olamiz. Demak. 1-aksioma bajariladi. Quyidagi tenglikdan

2-aksiomaning bajarilishi kelib chiqadi. Nihoyat.

tengsizlikdan 3-aksiomaning bajarilishi kelib chiqadi. Shunday qilib. (R², p₁) = metrik fazo bo'ladi.

12.To’la metrik fazo.
Agar X metrik fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lsa u holda X ga to'la metrik fazo deyiladi. X metrik fazoning ikkita A va В qism to‘plarnlari berilgan bo'lsin. Agar В [A] bo'lsa, u holda A to'plam В to'plamda zich deyiladi. Xususan, agar [A]=X bo’lsa, A to'plam hamma yerda zich (X da zich) deyiladi. Agar A to'plam birorta ham sharda zich bo'lmasa (ya’ni har bir В X sharda A to’plam bilan umumiy elementga ega bo’lmagan B^/ shar saqlansa), u holda A hech yerda zichmas deyiladi. (X, p) metrik fazoda x nuqta va M to'plam orasidagi masofa deganda

miqdor tushiniladi. Xuddi shunday (X,p) metrik fazoda A va В to’plamlar orasidagi masofa deganda

miqdor tushiniladi. Metrik fazolarning to’laligini tekshirishda quyidagi teoremadan foydalaniladi.
1-teorema. X metrik fazo to‘la bo'lishi uchun undagi ixtiyoriy ichma-ichli joylashgan va radiuslari nolga intiluvchi yopiq sharlar ketma-ketligining kesishmasi bo'sh bo’lmasligi zarurva yetarlidir.
Agar R metrik fazo to'la bo’lmasa, uni biror usul bilan (aslini olganda yagona usul bilan) biror to‘la metrik fazo ichiga joylashtirish mumkin.
1 -ta’rif. Agar: 1) R metrik fazo R* to‘la metrik fazoning qism fazosi bo'lsa: 2) R to‘plarn R* ning hamma yerida zich, ya’ni [R]=R^* bo‘lsa, u holda R* metrik fazo R metrik fazoning to‘ldirmasi deyiladi.
2-teorema Har bir R metrik fazo to'ldirmaga ega va bu to'ldirma
fazo R ning nuqtalarini qo'zg'almas holda qoldiruvchi izometriya aniqligida yagonadir.
1-misol. R metrik fazo to’la. Isbotlang.
Isbot. Matematik analiz kursidan malumki, ixtiyoriy fundamental sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchidir. Demak. R to'la metrik fazo.
13.Chiziqli fazo.
1-ta’rif. Agar elementlari ixtiyoriy tabiatli boʻlgan L toʻplam berilgan va bu to’plam elementlari orasida qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari kiritilgan, yaʻni
1) ixtiyoriy x va y L elementlar juftiga x va y elementlarning yigʻindisi, deb ataluvchi yagona z=x+y element mos qoʻyilgan;
2) x L element va (K-haqiqiy yoki kompleks sonlar toʻplami) songa x vektorning songa koʻpaytmasi deb ataluvchi yagona z= x element mos qoʻyilgan boʻlib, aniqlangan bu qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidаgi 8 ta aksiomani bajarsa, u holda L toʻplаm chiziqli (yoki vektor) fazo dеyilаdi:
1. Qoʻshish kommutativ, x+y=y+x;
2. Qoʻshish assotsiativ, (x+y)+z=x+(y+z);
3. L toʻplаmda barcha x elementlar uchun x+ shartni qanoatlantiradigan nol element mavjud;
4. L toʻplаmda har qanday x element uchun x+(-x)= shartni qanoatlantiradigan −x qarama-qarshi element mavjud;
5. (x+y)=
6. (
7.
8. 1*x=x
Bundan keyin biz chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb aytamiz. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun fаqаt hаqiqiy songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzo hаqiqiy chiziqli fаzo dеyilаdi. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun komplеks songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzogа komplеks chiziqli fаzo dеyilаdi.
Chiziqli fаzoni аniqlovchi аksiomаlаrdаn, quyidаgi хossаlаrni аjrаtish mumkin:
1-xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzo uchun yagonа -nol vеktor mаvjud.
2-xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr bir x vеktor uchun ungа qаrаmа-qаrshi boʻlgаn yagonа (−x) vеktor mаvjud.
3-xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr bir x vеktor uchun 0*x=
tеnglik oʻrinli.
4-xossa. Hаr qаndаy haqiqiy son va element uchun munosabat hamma vaqt bajariladi.
5-xossa. yoki yoki
Izoh.vеktorlаr аyirmаsi dеb, y vа −x vеktorlаr yigʻindisi tushunilаdi.
Yuqoridagi aniqlashimizga koʻra chiziqli fаzo elementlari turli tabiatli boʻlishi mumkin. Quyida biz chiziqli fаzolarni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.
1-misol. Barcha haqiqiy sonlar toʻplami -haqiqiy sonlarni qoʻshish va koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi.
2-misol. Barcha kompleks sonlar toʻplami kompleks sonlarni qoʻshish va koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi.
3-misol. Oldingi mavzularda koʻrgan Rⁿ (n=1,2,3,….k) fazolar n
oʻlchovli vektorlarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi.
4-misol. Elementlari n -tartibli matritsalardan iborat boʻlgan matritsalar toʻplami matritsalarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi.
5-misol. C[a,b]-[a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz barcha haqiqiy f=f(t) funksiyalar toʻplami funksiyalarni qoʻshish (f+g)t=f(t)+g(t) va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi.
14-ga javob topolmadim.
15.Normallangan fazo.
1-ta’rif. Bizga chiziqli fazo va unda aniqlangan funksional berilgan bo‘lsin. Agar quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga norma deyiladi:
1) p(x)
2)
3) p(x+y) .
2-ta’rif. Norma kiritilgan chiziqli fazo chiziqli normalangan fazo deyiladi va elementning normasi orqali belgilanadi.
Agar L - normalangan fazoda elementlar jufti uchun
p(x,y)=
sonni mos qo‘ysak, funksional metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantiradi (1-ta’rifga qarang). Metrika aksiomalarining bajarilishi normaning 1-3 shartlaridan bevosita kelib chiqadi. Demak, har qanday chiziqli normalangan fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Metrik fazolarda o‘rinli bo‘lgan barcha tasdiqlar (ma’lumotlar) chiziqli normalangan fazolarda ham o‘rinli.
X chiziqli normalangan fazoda {x_n} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
3-ta’rif. Biror x va ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik elementga yaqinlashadi deyiladi.
4-ta’rif. Agar ixtiyoriy son uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha va larda tengsizlik bajarilsa, - fundamental ketma-ketlik deyiladi.
5-ta’rif. Agar chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi.
Bu ta’rifni quyidagicha aytish mumkin: Agar , metrik fazo to‘la bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo deyiladi.
Chiziqli normalangan fazolarga misollar keltiramiz.
1-misol.- haqiqiy sonlar to‘plami. Agar ixtiyoriy x R soni uchun sonni mos qo‘ysak, R normalangan fazoga aylanadi.
2. L=C- kompleks sonlar to‘plami. Bu yerda ham norma yuqoridagidek kiritiladi: = |z|.
16. Evklid fazolari.
Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko'paytma kiritishdir.
1-ta'rif. Bizga L haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo'lsin. Agar L L
dekart ko'paytmada aniqlangan p funksional quyidagi to'rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko'paytma deyiladi:
1) p(x, x) 0, L; p(x, x) = 0 x = ;
2) p(x, y) = p(y, x), L;
3) p( x, y) = p(x, y), L, L;
4) p(x₁ + x₂, y) = p(x₁, y) + p(x₂, y), x₁, x₂, y
2-ta'rif. Skalyar ko'paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va x, y elementlarning skalyar ko'paytmasi (x, y) orqali belgilanadi.
Evklid fazosida x elementning normasi
= (1)
formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi.
Skalyar ko'paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi
|(x,y)| (2)
tengsizlikdan kelib chiqadi.
3-ta'rif. Agar ixtiyoriy da ( =0 bo'lsa, u holda nolmas { vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir elementning normasi birga teng bo'lsa, { ortogonal normalangan sistema, qisqacha ortonormal sistema deyiladi.
Agar { vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda { chiziqli bog'lanmagan bo'ladi. Haqiqatan ham,

bo'lsin. Bu tenglikning ikkala qismini x_i ga skalyar ko'paytirib, quyidagiga ega bo'lamiz. , i=1,2,…, n
4-ta'rif. Agar sistemani o'zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo E fazoning o'ziga teng bo'lsa, u holda sistema to'la deyiladi.
5-ta'rif. Agar ortonormal sistema to'la bo'lsa, u holda bu Sistema E fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi.
Ravshanki, agar ortogonal sistema bo'lsa, u holda

ortonormal sistema bo'ladi.
1-misol. Rⁿ = {x=(x₁,x₂,…,x_n), x_i n o'lchamli Evklid
fazosi. Bu fazoda skalyar ko'paytma quyidagicha kiritiladi
(x; y) = .
Bu fazoda {e_k = (0, …, 0,1,0, …, 0)}ⁿ_k=1 vektorlar sistemasi ortonormal bazisni tashkil qiladi.
2-misol. Kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar fazosi, ya'ni ni qaraymiz. Bu fazoda skalyar ko'paytma quyidagicha kiritiladi.
(x,y)=
fazoda ortonormal bazis sifatida L=m tenglik bilan aniqlanuvchi vektorlar sistemasini olish mumkin.
17.