1-topshiriq: d moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini integrallash. Masala

1-topshiriq: D.1. MODDIY NUQTANING HARAKAT DIFFERENSIAL TENGLAMALARINI INTEGRALLASH.

Masala. Qoyaning temir yul o‘tgan o‘ymalarida kyuvetlarni ularga nishabliklardan tosh kuchkilarining tushishidan himoya qilish uchun DC "supa" qilinadi.

Toshning nishablikning eng yuqori nuqtasi A dan tushishi mumkinligini e’tiborga olib va bunda uning boshlang‘ich tezligini ₀=0 deb hisoblab, supaning eng kichik eni b va unga toshning tushish tezligi _s aniqlansin. Tosh nishablikning gorizont bilan α burchak tashkil qiluvchi va uzunligi l bo‘lgan AB kismi bo‘ylab s. davomida harakat qiladi.

Masalani yyyechishda toshning AB qismdagi sirpanish ishqalanish koeffitsienti f o‘zgarmas, deb xisoblansin, xavoning q,arshiligi esa e’tiborga olinmasin.

Berilgan: _a =0; α =60°; l =4 m; =1 s; f, h =5 m; = 75°. b va _s aniqlansin.

Yechimi. AB qismda toshning harakatini ko‘rib chiqamiz. Toshni moddiy nuqta deb olib, unga ta’sir qiluvchi kuchlarni ko‘rsatamiz (1-chizma), og‘irlik kuchi , normal reaksiya kuchi va sirpa­nish ishqalanish kuchi . Toshning AV qismdagi harakat diffe­rensial tenglamasini tuzamiz:



Ishqalanish kuchi

F=f N

Bu yyerda

N=G cos α.

Shunday qilib,



Differensial tenglamani ikki marta integrallab, quyidagilarni olamiz.

yoki





Integrallashning o‘zgarmas ifodalarinn aniqdash uchun masalaning boshlang‘ich shartlaridan foydalanamiz:

t=0 da x₁=0,

Bu boshlang‘ich shartlarni yuqorida integrallab topilgan tenglamalarga qo‘yib, o‘zgarmaslar uchun quyidagi qiymatlarni olamiz:







Tosh AB qismini tark etgan on uchun



ya’ni





by yerdan

ya’ni m/s.

Toshniig B nuqtadan S nuqtagacha bo‘lgan harakatini qaraymiz. Toshga ta’sir qiluvchi og‘irlik kuchi G ni ko‘rsatib, uning Harakat differensial tenglamalarini tuzamiz:

.

Masalaniig boshlang‘ich shartlari:

t=0 da x=0, y=0;



Differensial tenglamalarni ikki marta integrallaymiz:





Bu yerga boshlang‘ach shartlarni qo‘yib, quyidagilarni topamiz:



C₅=0. C₆=0.

Toshning tezliklari proeksiyalarining quyidagi tenglamalarini:



va uning harakat tenglamalarini:

olamiz.

Tosh traektoriyasining tenglamasini harakat tenglamalaridan t parametrni yo‘qotib topamiz. Birinchi tenglamadan t ni aniqlab va uning qiymatini ikkinchisiga qyyib, parabolaning teng­lamasini xosil qilamiz.



Toshning tushish onida u=h, x=d. bo‘ladi, unda traektoriyaning tenglamasidan ushbu qiymatlarni topamiz:

d= 2,11m; d₂=-7,75m.

T toshning harakat traektoriyasi parabolaning musbat abssissali nuqtalar tarmog‘i bo‘lgani uchun d=2,11 m.

Supaning minimal eni b=d- ED=d-h/tg75° yoki b=0,77 m.

Toshning harakat tenglamasi dan foydalanib, uning B nuqtadan S nuqtagacha bo‘lgan harakat vaqti T ni topamiz: T=0, 53 s.

Toshning tushayottandagi tezligini tezlikning koordinata o‘qlariga proeksiyalari



orqali quyidagi formuladan topamiz:

Toshning tushish oni t= T=0,53 s.



yoki v_c=12,8 m/s.