1. Urinma tekislik Ta‘rifi. Urinma tekislikning yagonaligi xaqidagi teorema

Sirtga o'tkazilgan urinma tekslik va normal tenglamalari.Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari.
Reja:


1. Urinma tekislik Ta‘rifi.
2. Urinma tekislikning yagonaligi xaqidagi teorema.
3. Urinma tekislik tenglamalari.
4.Sirtning normali va uning tenglamasi.
Aytaylik F sirt va unda yotuvchi R nuqta olaylik. R nuqta orqali ( tekislikni o’tkazamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: =(Q,)=h, (Q, р)=d.
Ta‘rif. Agar Q nuqta R nuqtaga intilganda h/d 0 ga intilsa( tekislikni F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi deyiladi.
Teorema. Xar qanday F silliq sirt o’zining xar bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo’lib, u yagonadir. Agar r=r(u,v) tenglama F sirtning silliq parametrlangan bo’lsa, R nuqtadagi urinma tekislik ru va rv vektorlarga // dir.
Isbot. Faraz qilaylik ( tekislik F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi bo’lsin. U xolda ta‘rifga asosan Q(r da (h/d)(0 bo’ladi. Agar n orqali ( tekislikning normal birlik vektorini belgilasak
d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
_­h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|
bo’ladi. Bundan
(h/d)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
nisbat 0 ga intiladi.
Ta‘rifga asosan (u va (v larning xar biri aloxida 0 ga intilganda (h/d)(0 bo’ladi.
Xususan,
(|(r(u+u, v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v)-r(u,v)|)0
Lekin oxirgi ifodani surat va maxrajini u ga бo’либ, u0 da limitga o’tsak,
(|r_u(u,v)n|/|r_u(u,v)|)0
ni topamiz.
Demak, r_u(u,v)n=0. Bundan r_un kelib chiqadi. Bu esa r_u vektorni  tekislikka parallel ekanini ko’rsatadi. Xuddi shuningdek r_vn=0 dan r_v n ni yoki r_v// ekanini topamiz.
Agar r_u va r_v vektorlarni 0 dan farqli va [r_u, r_v]0 ekanini etiborga olsak, urinma tekislikning yagonaligi kelib chiqadi. Shuningdek urinma tekislikning mavjud ekandigini xam ko’rsatish oson.
Urinma tekislikning tenglamalari.
Faraz qilaylik F sirt
x=f₁(u,v), y=f₂(u,v), z=f₃(u,v) (1)
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tekislikning o’zgaruvchi nuqtasi A(x,y,z) bo’lsin. U xolda yukorida isbot qilingan teoremaga asosan , , vektorlar komplanar bo’ladi. Komplanarlik shartiga asosan ulaning aralash ko’paytmasi 0 ga teng bo’ladi.
Bundan urinma tekislikning tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozamiz.


=0 (2)
Agar sirt tenglamasi z=f(x,y) ko’rinishda berilgan bo’lsa,
bu tenglama
x=u, y=v, z=f(u,v)
ko’rinishdagi paraemtrik tenglamaga teng kuchlidir. Shuning uchun urinma tekislik tenglamasi kuyidagi ko’rinishda bo’ladi:
=0 (2)
yoki
z-f(x₀,y₀)= f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀,y₀)(y-y₀) (3)
Endi F sirt
(x,y,z)=0 (_x²+_y²+_z²0)
ko’rinishdagi oshkormas tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Faraz kilaylik
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
tenglama F sirtning qandaydir parametrik tenglamasi bo’lsin. U xolda quyidagi
( x(u,v), y(u,v), z(u,v))=0
ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyatni u va v parametrlar bo’yicha differentsiallab quyidagini olamiz:
_xx_u+_yy_u+_zz_u=0
_xx_v+_yy_v+_zz_v=0
Oxirgi tengliklar shuni ko’rsatadiki, (_x, _y, _z) vektor r_u(x_u, y_u, z_u) r_v(x_v, y_v, z_v) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko’paytmasi 0 ga teng bo’ldi. Demak, bu vektor urinma tekislikka perpendikulyar ekan. Buni etiborga olib urinma tekislik tenglamasini osongina yoza olamiz, ya‘ni
_x(x-x₀)+_y(y-y₀)+_z(z-z₀)=0 (4)
Ta‘rif. F sirtning R nuqtasidagi normali deb, sirtning shu nuqtasidagi urinma tekislikka perpendikulyar to’g`ri chiziqqa aytiladi.
Yuqoridagi muloxazalarga asosan sirtning normali [r_u, r_v] vektor bo’ylab yo’nalgan bo’ladi. Shuning uchun normal tenglamasini osongina tuzish mumkin.
Xaqiqatan xam [ru, rv] vektor normal uchun yo’naltiruvchi vektor bo’lganligidan uning tenglamasini

kurinishida yozamiz.
Urinma tekislik, urinma tekislik tenglamalari, sirtning normali, normal tenglamasi, silliq parametrlangan sirt, vektorlarning komplanarligi.
Adabiyotlar


1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
2. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
4. Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
5. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.
6.Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в целом. М., Наука, 1973.
7. Собиров М.А., Юсупов А.Е. Дифференциал геометрия курси. Т., Ўқитувчи, 1965.
8. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.,изд. МГУ,1980
9. Архангельский П.С, Пономарев В.И. Общая топология в задачах и упражнениях. М. Наука, 1974.
10.www.a-geometry.narod.ru