1. Vektor haqida tushuncha

4-mavzu. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar. Vektorning chiziqli erkliligi. Vektorni bazis vektorlari bo‘yicha yoyish. Vektorning o‘qdagi proeksiyasi. Vektorning uzunligi. Yo‘naltiruvchi kosinuslar.
REJA:

1. Vektor haqida tushuncha.

2. Vektorlar ustida chiziqli amallar .

3. Vektorlarning o’qqa proyeksiyasi.

4. Chiziqli bog’liqli va chiziqli bog’liqsiz vektorlar..

5. Vektorni bazislar bo’yicha yoyish.

6. Vektorlarning yo’naltiruvchi kosinuslari.

7. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish

Tayanch so’zlar: Vektor, vektorning boshi, oxiri (uchi), vektorlar. Vektorlarni qo’shishdagi uchburchak va parallelogramm qoidalari. Vektorning proyeksiyalari, chiziqli bog’liqli va chiziqli bog’liqsiz vektorlar. Bazis. Yo’naltiruvchi kosinuslar. Vektorning koordinatalari. Vektorlar orasidagi burchak.
1. Vektor haqida tushuncha.
1-ta’rif. Aniq yo’nalishga ega bo’lgan chekli kesmaga vektor deyiladi.

a B

A

A nuqtani vektorning boshi, B nuqtani esa vektorning oxiri yoki uchi deyiladi. Odatda vektor yoki ko’rinishda yoziladi. Kesmaning uzunligi vektorning modulini ya’ni son qiymatini ifodalaydi va || yoki || ko’rinishda yoziladi. Vektor degan so’z asli lotincha bo’lib, ko’chiruvchi, siljituvchi yoki tortuvchi degan ma’noni bildiradi.
2-ta’rif. Agar vektorlar bitta to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda yotsa, bunday vektorlarga kollinear vektorlar deyiladi.

Kollinear so’zi lotincha «com» ya’ni birgalikda yoki umumiy ma’nosidagi va «Linia» ya’ni chiziq ma’nosidagi so’zlardan tuzilgan bo’lib, «chiziqdosh» degan ma’noni bildiradi.

3-ta’rif. Bitta tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi.

4-ta’rif. Har qanday va vektorlarning

1) modullari teng bo’lsa;

2) kollinear bo’lsa;

3) yo’nalishlari bir xil bo’lsa , u holda = deyiladi.

5-ta’rif. Uzunliklari teng bo’lib, yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lgan vektorlarga qarama-qarshi vektorlar deyiladi.

2. Vektorlar ustida chiziqli amallar.

Vektorlarni qo’shish, ayirish amallari o’rta maktab dasturidan ma’lum bo’lgan uchburchak va parallelogramm qoidalariga asosan amalga oshiriladi.

Vektorni songa ko’paytirish. vektorni biror  haqiqiy songa ko’paytirganda shu ga kollinear bo’lgan vektor hosil bo’lib, uning uzunligi ||= |||| ga teng bo’lib, yo’nalishi esa  >0 bo’lsa, vektor yo’nalishi bilan bir xil ,  <0 bo’lsa, yo’nalishiga qarshi bo’ladi. Vektorlarni songa ko’paytirish qoidasidan ko’rinadiki =bo’lsa va vektorlar kollinear vektorlar va aksincha. Demak va vektorlarning kollinear vektorlar bo’lishi uchun = tenglik o’rinli bo’lishi zarur va kifoya.
3. Vektorlarning o’qqa proyeksiyasi.

Proyeksiya so’zi lotincha «projectiv» so’zidan olingan bo’lib, «tasvir» yoki «soya» degan ma’noni bildiradi. Biror A nuqtaning u o’qdagi proyeksiyasi deb, shu nuqtadan u o’qqa tushirilgan perpendikulyarning A₁ asosiga aytiladi va quyidagicha yoziladi

B

A . B. A a

__________________ u _________________________ u

A₁ B₁ O A₁ B₁
Pr_uA=A₁, Pr_uB=B_1. vektorning o’qdagi geometrik proyeksiyasi deb, vektor boshining proyeksiyasi bo’lgan A₁ dan uchining proyeksiyasi bo’lgan B₁ nuqta tomon yo’nalgan vektorga aytiladi. Pr_u =_.

Har qanday vektorning biror o’qdagi geometrik proyeksiyasi vektordir, lekin uning algebraik miqdori biror aniq sondir. Shuning uchun vektorning proyeksiyasi deb shu son qabul qilinadi.

Demak vektorning uzunligi vektorning u o’qdagi proyeksiyasi deyiladi. Agar A₁ va B₁ nuqtalarning koordinatalarini mos ravishda x₁,x₂ desak Pr_u=x₂ - x₁ bo’ladi.