1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi

13. Ratsional funksiyalarni integrallash. Shunday funksiyalar sinflari borki, ular uchun muayyan usullardan foydalanib ularni jadval integrallariga yoki integrallash usullaridan foydalanish uchun qulay holga keltirish mumkin, shunday funksiya sinflaridan ayrimlarini qaraymiz. Ma’lumki, har qanday ratsional funksiyani ushbu ko’rinishida ifodalash mumkin, ya’ni Suratdagi ko’phadning darajasi maxrajdagi ko’phad darajasidan kichik, ya’ni m  n bo’lsa, berilgan kasrga to’g’ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Suratdagi ko’phadning darajasi m  n bo’lsa, noto’g’ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Kasr noto’g’ri kasr ratsional funksiya bo’lsa, suratni maxrajga, ko’phadni ko’phadga bo’lish qoidasiga asosan bo’lib, uning butun qismini ajratib, uni butun va to’g’ri kasr ratsional funksiyaga keltirish mumkin. Umumiy holda, noto’g’ri kasr ratsional funksiya bo’lsa, uni ko’rinishga keltiriladi, bunda -ko’phad, to’g’ri kasr.Ushbu
to’g’ri ratsional kasrni qaraymiz. . Kasrning maxraji
ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratishdan foydalanib ratsional kasrni elementar kasrlar yig’indisi shaklida yoziladi.

5
To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida A_i , B_i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud.

14. Trigonometrik funksiyalarni integrallash. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan integrallar quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin:
I. ; ;
Bu yerda m va n lar haqiqiy sonlar
II. III. , IV. V. VI.
Bu integrallarning har biriga alohida -alohida to’xtalamiz.
I. ; ; ko’rinishdagi integrallar trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga almashtirish formulalari yordamida integrallanadi.
Ular:

.
II. ko’rinishdagi integrallarda quyidagicha hollar bo’lishi mumkin:
1-hol. Sinusning daraja ko’rsatkichi m toq musbat son, ya’ni m=2k+1. Bu holda integral ostidagi ifoda quyidagicha o’zgartiriladi.
bo’lganligi uchun integral ostidagi ifoda ko’rinishga keladi. Agar bu yerda deb olsak, u holda bo’lib, integral ostidagi ifoda ko’rinishga keladi va integral darajali funksiyalar yig’indisini integrallashdan iborat bo’laxdi. 2-hol. Kosinusning daraja ko’rsatkichi n toq manfiy son, ya’ni n= 2k+1 bo’lsin. U holda
bo’lib, integral ostidagi ifoda ko’rinishiga keladi. Agar deb olsak, u holda bo’ladi va berilgan integral ko’rinishga kelib, u yana darajali funksiyalar yig’indisining integralidan iborat bo’ladi.