10. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Reja:
1⁰. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart

2⁰. Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti
3⁰. Xususiy hollar
1⁰. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart. Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin.
1-taʼrif. Agar shunday son topilsaki,
bo‘lib, da
bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal maksimumga, bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi deyiladi.
2-taʼrif. Agar shunday son topilsaki, bo‘lib, da bo‘lsa, funksiya nuqtada qatʼiy lokal maksimumga, bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal qatʼiy minimumga erishadi deyiladi.
Funksiyaning lokal maksimumi, lokal minimumi umumiy nom bilan lokal ekstremumi deyiladi. Bunda nuqta funksiyaning lokal ekstremum nuqtasi, ga esa funksiyaning lokal ekstremum qiymati deyiladi.
Funksiyaning maksimum (minimum) qiymati quyidagicha belgilanadi:

Maʼlumki,

ayirma funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyilar edi.
funksiya nuqtada lokal maksimumga erishsa, unda da

bo‘ladi va aksincha.
Shuningdyek, funksiya nuqtada lokal minimumga erishsa, unda da

bo‘ladi va aksincha.
1-teorema. Agar funksiya nuqtada lokal estremumga erishsa va shu nuqtada barcha

xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
◄Aytaylik, funksiya nuqtada lokal minimumga erishsin. U holda
da
tengsizlik bajariladi. Jumladan

bo‘ladi. Agar

deyilsa, da

bo‘lib, bir o‘zgaruvchili funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi. Unda 25-maʼruzada keltirilgan teoremaga ko‘ra
yaʼni
bo‘ladi.
Xuddi shunga o‘xshash

bo‘lishi isbotlanadi.►
1-eslatma. Agar funksiya biror nuqtada lokal ekstremumga erishsa va shu nuqtada differensial-lanuvchi bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
2-eslatma. funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega va

bo‘lishidan berilgan funksiyaning shu nuqtada lokal estremumga erishishi har doim kelib chiqavermaydi. (misollar keyingi punktda keltiriladi).
Demak, 1-teorema funksiyaning lokal ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi.
funksiya xususiy hosilalarini nolga aylantiradi-gan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deyiladi.