11-Amaliy mashg’ulot. Funksiyaning o`sishi va kamayishi. Funksiyaning ekstremumlari. Teylor va Makloren formulalariga doir mashqlar. Yuqori tartibli hosila va differensial. Aniqmasliklarni Lopital qoidasi yordamida ochish

Oshkormas va parametrik ko’rinishdagi funksiyalarning hosilalarini hisoblash

Faraz qilaylik x argumentning y funksiyasi quyidagicha

parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin.

Agar x=j(t) funksiya teskarilanuvchi bo‘lsa, ya’ni t=j₁(x) mavjud bo‘lsa, u holda y=y(t) tenglamani y=y(j₁(x)) ko‘rinishda yozib olish va y=y(j₁(x)) funksiyaning hosilasini topish masalasini qarash mumkin. Odatda bu masala parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish masalasi deb ham yuritiladi.

Aytaylik j(t) va y(t) funksiyalar [a;b] da uzluksiz va (a;b) da differensiallanuvchi hamda j’(t) shu intervalda ishorasini saqlasin. Agar x=j(t) funksiyaning qiymatlar to‘plami [a,b] kesma bo‘lsa, u holda x=j(t), y=y(t) tenglamalar [a,b] da uzluksiz, (a,b) da differensiallanuvchi bo‘lgan y=f(x) funksiyani aniqlaydi va

formula o‘rinli bo‘ladi.

Ravshanki,

tenglamalar u’_x funksiyani x ning funksiyasi sifatida parametrik ifodalaydi.

Faraz qilaylik (3) tenglamalar sistemasi yuqoridagi teorema shartlarini qanoatlantirsin. U holda u’_x funksiyaning x bo‘yicha hosilasi, ya’ni y ning x bo‘yicha ikkinchi tartibli hosilasini quyidagicha hisoblash mumkin:

.

Shunday qilib, quyidagi qoida o‘rinli ekan: y ning x bo‘yicha ikkinchi tartibli hosilasini topish uchun parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasi u’_x ni t parametr bo‘yicha differensiallab, so‘ngra hosil qilingan natijani x’_t ga bo‘lish kerak.

Agar berilgan funksiya biror o’zgaruvchiga nisbatan yechilmagan bo’lsa, oshkormas funksiya deyiladi. funksiya y ning x gа nisbatan oshkormas funksiyasi deyiladi. Uning hosilasini topish uchun, ikkala tomondan х bo’yicha hosila olib bo’lgan tenglamadan topiladi.