13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

Masalan, 1) funksiyaning xususiy hosilalarini topilsin.
Yechish.

2) ning xususiy hosilalari topilsin.
Yechish. deb faraz qilamiz.




13.8. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy va to‘liq differensiallari

13.8.1-ta’rif. Agar ko‘p o‘zgaruvchili funksiya nuqtaning qandaydir atrofida aniqlangan bo‘lib, bu nuqtadagi argumenti bo‘yicha xususiy orttirmasining argument orttirmasi ga nisbatan chiziqli bosh qismi mavjud bo‘lsa, bu chiziqli bosh qism funksiyaning argumenti bo‘yicha xususiy differensiali deyiladi va bilan belgilanadi.

Xuddi bir o‘zgaruvchili funksiyalardagi kabi bu xususiy differensiallar uchun
(13.8.1)
formulani keltirib chiqarish mumkin bo‘lib, bu yerda dir. Demak, xususiy differensial mavjud bo‘lishi uchun mos argument bo‘yicha xususiy hosila mavjud bo‘lishi yetarli ekan. Shu bilan birga funksiyaning xususiy orttirmasi uchun formula o‘rinlidir, bu yerda
13.8.2-ta’rif. Agar ko‘p o‘zgaruvchili funksiya nuqtaning qandaydir atrofida aniqlangan bo‘lib, bu nuqtadagi funksiyaning to‘liq orttirmasi argumentlar orttirmalari larga nisbatan chiziqli bosh qismga ega bo‘lsa, bu chiziqli bosh qism funksiyaning to‘liq differensiali deyiladi va bilan belgilanadi. Bu holda funksiya differensiallanuvchi deb ataladi.
To‘liq differensial formulasini, umumiylikka ta’sir qilmagan holda, ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun keltirib chiqaramiz.
Aytaylik, funksiya nuqtaning qandaydir atrofida aniqlangan bo‘lib, bu atrofda uning har ikkala argumenti bo‘yicha uzluksiz xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. U holda,
(13.8.2)
formula o‘rinlidir, bu yerda .
Haqiqatdan ham, funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasini olsak,

bu yerda  va  lar da cheksiz kichik miqdorlardir.
Oxirgini
(13.8.3)
ko‘rinishda yozamiz, bu yerda deb belgilangan.
(13.8.3) ning qavslar ichidagi qo‘shiluvchisi va larga nisbatan chiziqli qism ekanligi ravshandir. Endi, da ni tekshiramiz.
hamda ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
,
ya’ni da ifoda ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdordir. Demak, (13.8.3) ning birinchi qavslar ichidagi qo‘shiluvchisi cheksiz kichik argument orttirmalariga nisbatan chiziqli bosh qismdir. Bundan funksiya differensiali ta’rifiga ko‘ra (13.8.2) kelib chiqadi ( deb qabul qilish kerak bo‘ladi).
Umumiy holda n o‘zgaruvchili funksiya nuqta atrofida barcha argumentlari bo‘yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, uning to‘liq differensiali uchun
(13.8.4)
formula o‘rinlidir.