13-ma’ruza Reja 10. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘plam bo‘yicha ikki karrali integ­rallarni hisoblash

4-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajar-sin:
1) funksiya da integrallanuvchi,
2) har bir tayin da

integral mavjud. U holda

mavjud va

bo‘ladi.
◄ Bu teoremaning isboti 3-teoremaning isboti kabidir. ►
Agar funksiya da kerakli shartlarni ba­ja­rib, integrallash to‘plami esa, nol yuzali chiziqlar yordamida o‘zaro bir–biri bilan ichki umumiy nuqtaga ega bo‘lmagan hamda yuqoridagi teoremalardagi kabi

bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
2-misol. Ushbu

integrallar hisoblansin, bunda quyidagi
, ,
chiziqlar bilan chegaralangan to‘plam.
◄ Bu chiziqlar bilan chegaralangan to‘plam 35-chizmada tasvir­langan:



35-chizma
funksiya va to‘plam 3-teoremaning shart­la­rini bajaradi. Endi

ekanini e’tiborga olib topamiz:

. ►
3-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda quyidagi
, , , ,
chiziqlar bilan chegaralangan to‘plam.
◄ Bu chiziqlar bilan chegaralangan to‘plam 36-chizmada tas­vir­langan:

36-chizma
Berilgan integralni hisoblashda 4-teoremadan foyda­la­na­miz:

. ►
4-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda quyidagi chiziqlar:
parabola va uning va nuqtalarini birlash­ti­ruvchi va­tar bilan chegaralangan to‘plam.
◄ parabolaning va nuqtalarini bir­lash­ti­ruv­chi vatar tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. va chiziqlar bilan chegara­lan­gan to‘plam 37-chizmada tasvirlangan.

37-chizma
to‘g‘ri chiziq yordamida to‘plamni ikkita va larga ajratamiz. Bunda
,

bo‘ladi.
Ikki karrali integralning xossalaridan foydalanib to­pa­miz:
.
Bu integrallarni hisoblaymiz:

. ►