14-mavzu: bir necha o‘zgaruvchining funksiyasini differensiallash funksiyaning xususiy hosilalari

2. Funksiyaning differensiallanuvchanligi
funksiya nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasini
(7.2.1)
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar,
da
1-teorema. Agar funksiya nuqtada diffrensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. funksiya nuqtada differensiyallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra . Bundan da kelib chiqadi. Demak, funksiya nuqtada uzluksiz.
2-teorema (funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada
va
xususiy hosilalarga ega bo‘ladi.
Isboti. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin.
1-teoremaga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz.
Shuningdek,
.
Bu tenglikda deb, topamiz:
.
Bundan Ikkinchi tomondan
Demak,
.
funksiya nuqtada

xususiy hosilaga ega bo‘lishi shu kabi isbotlanadi.
funksiya uchun nuqtada hosilaning mavjud bo‘lishi funksining nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va etarli sharti bo‘ladi.
Bir necha ozgaruvchining funksiyasi uchun esa nuqtada xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti bo‘ladi. Masalan, funksiyaning nuqtada xususiy hosilalari mavjud:
, .
U holda Bundan da
yoki
da bajarilmaydi. Shu sababli funksiya nuqtada differensiallanuvchi emas.
Shunday qilib, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi.
3-teorema (funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti). Agar funksiya nuqtaning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi.