15-mavzu. Aniq integralni hisoblash reja

3. Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish
3-teorema. funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsin.
Agar: 1) funksiya kesmada differensiallanuvchi va funksiya kesmada uzluksiz; 2) funksiyaning qiymatlar sohasi kesmadan
iborat; 3) va bo‘lsa, u holda
(15.6)
bo‘ladi.
Isboti. Nyuton-Leybnis formulasiga ko‘ra
,
bu yerda funksiya funksiyaning kesmadagi boshlang‘ich funksiyalaridan biri. murakkab funksiyani qaraymiz.
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga asosan

Demak, funksiya kesmada uzluksiz funksiya uchun
boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Nyuton-Leybnis formulasi bilan topamiz:
.
(15.6) formula aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi deb
yuritiladi. Aniq integralni hisoblashning bu usulida aniq integralda o‘rniga
qo‘yish usuli deyiladi.
Izoh. Aniq integralni (15.6) formula bilan hisoblashda yangi o‘zgaruvchidan eski o‘zgaruvchiga qaytish shart emas, chunki integrallash
chegarasi o‘rniga qo‘yishga mos tarzda o‘zgaradi.
Misollar
1. integralni hisoblaymiz. Bunda belgilash kiritamiz. Bu o‘zgaruvchini almashtirish 3-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi: birinchidan funksiya kesmada uzluksiz, ikkinchidan funksiya kesmada differensiallanuvchi va bu kesmada uzluksiz, uchinchidan o‘zgaruvchi dan gacha o‘zgarganda funksiya dan gacha o‘sadi va bunda va . Bunda .
(15.6) formuladan topamiz:

2. integralni hisoblaymiz. Bunda o‘rniga qo‘yish bajaramiz. U holda
da da .
kesmada funksiya monoton o‘sadi, demak o‘rniga qo‘yich to‘g‘ri bajarilgan. Bundan

Izoh. (15.6) formulani qo‘llashda teoremada sanab o‘tilgan shartlarning bajarilishini tekshirish lozim. Agar bu shartlar buzilsa keltirilgan formula bo‘yicha
o‘zgaruvchini almashtirish xato natijaga olib kelishi mumkin.