16-маъруза n-тартибли бир жинсли эмас чизиқли дифференциал тенгламалар

16-маъруза. n-тартибли бир жинсли эмас чизиқли дифференциал тенгламалар
1^о. -тартибли бир жинсли эмас чизиқли дифференциал тенглама
(1)
куринишида ёзилади , бу ерда коэффициентлари ва озад ҳад интервалында аниқланган, узликсиз функциялар.
Куринишидаги тасдиқловлар бир жинсли эмас чизиқли тенгламанинг ечимларининг ҳоссаларин ифодалайди.
Теорема 1. Агар функцияси бир жинсли эмас тенгламанинг, ал мос бир жинсли синнг ечими булса, унда йиғиндиси бир жинсли эмас тенгламанинг ечими булади.
Теорема 2. Агар функцияси L[у]=f₁(х) тенгламасининг, ал у₂(х) функцияси L[у]=f₂(х) тенгламасининг ечими булса, унда у₁(х)+у₂(х) функцияси L[у]= f₁(х)+ f₂(х) тенгламасининг ечими булади.
Теорема 3. Агер (1) бир жинсли эмас тенгламанинг баъзи бир ҳусусий ечими маълум булса, унда унунг умумий ечими шу ҳусусийа ечим билан мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечимининг йиғиндисига тенг булади.
2 Ихтиёрий узгармасни вариациялаш усули.
Энди (1) куринишидаги бир жинсли эмас чизиқли тенгламаларни ечишнинг эркли узгармасларни вариациялаш методи деб номланувчи Лагранжнинг бир усулин келтирамиз.
Майли (1) тенгламага мос келувчи бир жинсли чизиқли системанинг ечимларининг фундаментал системаси маълум булсин. Унда бу бир жинсли тенгламанинг умумий ечими
(2)
куринишида жазылады, бу ерда эркли узгармаслар Бу ифода бир жинсли тенгламани қанаотландиради ва демак, у лар узгармас булганда (1) тенгламани қанаотландирмайди. Биз (1) тенгламанинг ечимин да шу (2) куринишида излаймиз, лекин бу ердаги ни эркли узгарувчи х-нинг функциялари булсин деб ҳисоблаймиз, яъни (q) тенгламанинг ечимин
(3)
куринишида излаймиз, бу ерда лар ҳозирча маълум эмас функциялар. Бу функцияларни аниқлаш учун тенглама керак. Уларнинг биттаси (3) ифодаси (1) тенгламани қанаотландиради деган шарттан алинади да, ал қолган тенглама эркин турда сайлаб алинади, биз уларни тан алинган ҳосилалар оддий турда буладигандек қилиб сайлаб оламиз.
(3) тенглигин буйича дифференциаллаймиз
=
+
Энди қушимча сайлаб алинадиган тенгламанинг биринчиси ҳисобида сунги тенгликнинг унг тарафидаги ҳосилалари бар ҳадларнинг йиғиндисин нолга тенглашдан олинадиган
(4)
тенгламасин оламиз.Шунда учун
(5)
ифодасига эга буламиз. Бу (5) тенглигин буйича дифференциаллаб, алинган натийжа функцияларининг ҳосилалари бор ҳадларнинг йиғиндисин нулга тенглаймиз
(6)
Бу иккинчи қушимча тенглама булади. Шунда
(7)
булади. Процессти давом эта отириб, қадамда қушимча тенглама оламиз
(8)
ва учун қуйидаги ифодага эга буламиз.
(9)
Бу (9) тенглигин буйича дифференциаллаб, учун
(10)
ифодасин оламиз.Энди (3), (4),..., (10) ифодаларини (1 тенгламага қуйиб,

тенгламасин оламиз. Ал функциялари мос бир жинсли чизиқли тенгламанинг ҳусусий ечимлери булганлигидан йиғинди белгиси остидаги лар ёнидаги барча купайтувчилар нулга айланади ва функцияларин аниқлаш учун керак булган -тенгламани оламиз
(11)
Шундай қилиб, биз номаълум булган (4), (6), ..., (8), (11) куринишидаги бир жинсли эмас чизиқли тенгламалер системасига эга буламиз. Бу чизиқли системанинг аниқловчиси (1)-тенгламага мос келувчи бир жинсли тенгламанинг ечимларининг фундаментал системаси учун Вронский аниқловчиси булиб, у нулга ойланмайди, демак, Бу системани ҳосилаларина нисбатан ечиб, , тенгламаларина эга буламиз. Бу тенгламалани интеграллаб
(12)
Булади, бу ерда -янги эркли узгармаслар
функцияларининг бу топилган (12) ифодаларин (3) формулага қойып, (1) тенгламанинг умумий ечимине эга буламыз
(13)
Шундай қилиб, (1) тенгламага мос келувчи бир жинсли чизиқли тенгламанинг ечимларининг фундаментал системаси булганда (1) бир жинсли эмас чизиқли тенгламанинг ечимин квадратура ёддамида олишга булади ва бу (1) тенгламанинг умумий ечими (12) формуласы билан берилади.
Мисол. тенгламасининг умумий ечимин топинг.
Ечилиши. Берилган чизиқли тенгламага мос келувчи бир жинсли тенглама, яъни тенгламаси куринишидаги ечимларнинг фундаментал системасига эга булганлигидан унинг умумий ечими

куринишида ёзилади, бу ерда с₁ ва с₂- эркли узгармаслар.Энди шу ихтиёрий узгармасларни вариациялаймиз ва берилган тенгламанинг ечимин

куринишида излаймиз, бу ерда с₁(х) ва с₂(х) функциялари

системасынан аниқланади. Бу сунги системани ва ҳосилаларина нисбатан ечиб,

Тенгламасига эга буламиз, ал уларни интегралласақ

булади. Бу топилган ифодаларни изланган ечимга қойсақ, берилган тенгламанинг

куринишидаги умумий ечимин оламиз, бу ерда ва -эркли узгармаслар


Текшириш учун саволлар
1. Егер бир жинсли эмас чизиқли тенгламани4 бир дара ечими ва бир жинсли тенгламанинг умумий ечими маълум булса, берилган тенгламанинг умумий ечимин ?
2. Бир жинсли эмас чизиқли тенгламанинг умумий ечимин топишнинг Лагранж усули нимадан иборат?