17-mavzu: Superkengaytma va eksponenta funktorlari va ularning qism funktorlari

17-mavzu: Superkengaytma va eksponenta funktorlari va ularning qism funktorlari.

Topologik fazoning superkengaytmasi tushunchasi De Groot tomonidan kiritilgan.

Aytaylik, - fazoning bo’sh bo’lmagan yopiq qism to’plamlari oilasi bo’lsin.
5.6.1-T’arif Agar sistemaning ixtiyoriy 2 ta elementi har doim bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’lsa, u holda bu sistemaga zanjirlangan deyiladi.
5.6.1- Misol. Zanjirlangan sistemaga misol sifatida ixtiyoriy uchburchakning tomonlaridan iborat bo’lgan sistemani olishimiz mumkin. Demak uchburchakning tomonlaridan iborat sistemasini qaraylik. Bu tomonlar uchun , , munosabatlar o’rinlidir.
Teorema 5.6.1. fazo super kompakt bo’ladi faqat va faqat shu holdaki, agar unda shunday oldbaza mavjud bo’lib uning har qanday zanjirlangan qism sistemasi bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’lsa.
Teorema 5.6.2. Shari lemmasi bo’yicha har qanday zanjirlangan sistema maksimal zanjirlangan sistemagacha (MZS) to’ldirilishi mumkin ammo bunaqa to’ldirish aynan biror bir qoidaga ko’ra, to’ldirilmaydi
Teorema 5.6.3. X fazoning ᶓ zanjirlangan sistemasi maksimal zanjirlangan sistema bo’ladi faqat va faqat shu holdakiki u quyidagi to’liqlik xossasiga ega bo’lsa. Agar yopiq A ⊂ X to’plam har qanday ᶓ dagi element bilan kesishsa Aϵ ᶓ bo’ladi.
Teorema 5.6.4. A ─ X fazoning yopiq qismto’plami bo’lsin. U holda A fazoning har qanday ᶓ maksimal zanjirlangan sistemasi X fazoning yagona ᶓ _x maksimal zanjirlangan sistemasida mavjud.
Isbot. Agar Fϵ ᶓ _x bo’lsa , uholda F to’plam ᶓ sistemaning har qanday elementi bilan kesishadi. U holda F∩A to’plam ham ᶓ sistemaning har qanday elementi bilan kesishadi. 2.1.8 teoremaga ko’ra F∩Aϵ ᶓ to’plam ᶓ sistemaning elementi bo’ladi. Endi quyidagi sistemani qaraymiz:
ᶓ_x={F⊂X: F yopiq va F∩A ϵ ᶓ }.
Teorema 5.6.5. X fazoning barcha maksimal zanjirlangan sistemalari to’plamini λX orqali belgilaymiz A⊂X yopiq to’plam uchun quyidagi to’plamlar oilasini olamiz. A⁺= { ᶓ ϵλX : Aϵ ᶓ }.ᴲ
U⊂X ochiq to’plam uchun esa quyidagi to’plamlar oilasini olamiz
O(U)= { ᶓ ϵ λ X : ᴲ Fϵ ᶓ => F⊂U} Volmen topologiyasining oldbazasi bo’ladi.