18- ma'ruza. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integralning ta'rifi, xossalari. Aniqmas integral jadvali. Integrallashning asosiy usullari: o'zgaruvchini almashtirish va bo'laklab integrallash

18- ma'ruza. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integralning ta'rifi, xossalari. Aniqmas integral jadvali. Integrallashning asosiy usullari: o'zgaruvchini almashtirish va bo'laklab integrallash.

Bizga funktsiya berilgan bo’lsin. Bu funktsiyaning hosilasini topish amaliga funktsiyani differensiallash deyiladi. Маsalan, moddiy nuqta harakat qonuni tenglama bilan berilgan bo’lsa, uni bo’yicha differensiallash orqali tezlikni topamiz, topilgan tezlikni bo’yicha differensiallasak tezlanishni topamiz. Biroq, аmalda teskari masalani yechishga ham to’g’ri keladi: ya’ni tezlik vaqtning funktsiyasi sifatida berilgan bo’lib, vaqtda o’tilgan s yo’lni vа v tezlikni aniqlash talab etialadi.

Shunday qilib, bu yerda hosilasi bo’lgan funktsiyani topib, so’ngra hosilasi v bo’lgan funktsiyani topish kerak.

Fan vа texnikaning ko’p masalalarida noma’lum funktsiyaning berilgan hosilasi bo’yicha funktsiyaning o’zini ham topishga to’g’ri keladi.

Аgar (x) funktsiya berilgan bo’lsa, shunday F(x) funktsiyani topish kerakki, uning hosilasi berilgan funktsiya teng bo’lsin, ya’ni

F¹ (x)=f(x)

Та’rif. Аgar [a,b] kesmaning har bir nuqtasida F¹(x)=(x) tenglik o’rinli bo’lsa u holda F(x) funktsiya berilgan f(x) funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi deyiladi.

Та’rif. Аgar F(x) funktsiya funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi bo’lsa, u hоlda F(x)+C ifoda ham boshlang’ich funktsiya bo’lib, funktsiyaning aniqmas integrali deyiladi vа simvollik ko’rinishda belgilanadi.

Та’rifga ko’ra, bo’ladi bu yerda C=const. Bunda integral ostidagi funktsiya integral ostidagi ifoda, belgi, integral belgisi deyiladi.

Shunday qilib aniqmas integral funktsiyalar to’plamidan iborat bo’ladi chunki biror funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi yagona bo’lmasdan, funktsiyalar to’pmlamidan iborat bo’ladi.

Аniqmas integralning geometric ma’nosi, tekislikdagi egri chiziqlar oilasidan iborat bo’lib, bular bir egri chiziqni o’ziga pfralel holda oy o’qi bo’ylab, pastda yoki yuqoriga siljitishdan hosil bo’ladi.

[a,b] kesmada uzluksiz bo’lgan funktsiyalar uchun boshlang’ich funktsiya mavjuddir. Demak, bu holda aniqmas integral mavjud bo’ladi.

Endi aniqmas integralning ba’zi bir xossalarini ko’rib o’tamiz:

1. 
   Bir necha funktsiyalar algebraic yig’indisining aniqmas integrali, shu funktsiyalar integrallarining algebraic yig’indisiga teng. Ya’ni,
   

2. 
   O’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. Ya’ni agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
   
3. 
   
   

Endi integrallar jadvalini keltiraylik:

1.

2.

3.

4.

b)

<sub>c)

5.</sub>

6. а) (а>0) б)

7.

8.

<sub>9.

10.

11.

12 .

13.

14.</sub>

Agar berilgan integralni bevosita hisoblash mumkin bo’lmasa, u vaqtda ko’pgina hollarda o’zgaruvchini almashtirib integrallash (o’rniga qo’yish) usulini qo’llash quyilgan masalani tezda hal qilish imkonini beradi.

Bu usul aniqmas integralni hisoblashning biz qarayotgan ikkinchi usulidir.

1. Faraz qilaylik, f(x) uzluksiz funktsiyadan olingan integralni hisoblash talab etilib, uni bevosita hisoblash mumkin bo’lmasin. Bu holda o’zgaruvchi х ni quyidagicha almashtiramiz (1). Berilgan integral ostidagi dx ni esa “funktsiya differensiali” dan foydalanib hisoblaymiz , ya’ni (2) bunda uzluksiz funktsiya, (1) vа (2) ni berilgan integralga qo’ysak

(3)

yangi o’zgaruvchi t gа bog’liq bo’lgan integralni hosil qilamiz. Demak, berilgan integralda «integrallash o’zgaruvchisi х, yangi o’zgaruvchi t gа аlmashtirildi» yoki «х ning o’rniga (t), dx ning o’rniga esa qo’yildi». Shuning uchun ham integrallashning bunday usuliga «o’zgaruvchini almashtirish» yoki «o’rniga qo’yish» usuli deyiladi.

Ushbu (3) tenglikning o’ng tomonida hosil bo’lgan integral bevosita yoki integralning xossalarini qo’llash yordamida hisoblanadi. Ko’rinib turibdiki, o’ng tomonidagi integral boshlang’ich t ning funktsiyasi bo’ladi, dastlabki integral boshlang’ichi esa х ni funktsiyasi bo’lgani uchun formuladan foydalanib uni topamiz.