19-maruza mashg’uloti. Ikki chiziq orasidagi burchak. Sirt ustidagi sohaning yuzasi

19-maruza mashg’uloti. Ikki chiziq orasidagi burchak. Sirt ustidagi sohaning 

yuzasi. 

19-mavzu. 

Ikki chiziq orasidagi burchak. Sirt ustidagi sohaning yuzasi. 

 

 

1.1. Ma’ruza  mashg’ulotining o’qitish texnologiyasi 

Mashg’ulot vaqti-2 soat  

Talabalar soni: 100 –150 gacha 

Mashg’ulot shakli 

Kirish-axborotli ma’ruza  

Ma’ruza  rejasi 

Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchak.  

Sirtdagi soha yuzi.  

 Sirtning ichki geometriyasi.  

O’quv mashg’ulotining maqsadi.  urinma vektor, urinma tekislik, birinchi 

kvadratik forma, skalyar ko'paytma, izometrik sirtlar 

Pedagogik vazifalar: 

•  Darsning  maqsadi  va  vazifalari 

haqida qisqacha tushuncha berish; 

•  Sirt  ustidagi  chiziqlar  orasidagi 

burchak formulasini berish 

 • 

Sirtdagi 

soha 

yuzini 

topish 

formulasini keltirib chiqarish 

• 

Sirtning 

ichki 

geometriyasini 

tushuntirib berish 

O’quv faoliyati natijalari: 

•  Darsning  maqsadi  va  vazifalari  haqida 

tushuncha beriladi 

Sirt  ustidagi  chiziqlar  orasidagi  burchak 

formulasi beriladi 

Sirtdagi  soha  yuzini  topish  formulasi 

keltirib chiqariladi; 

•  Sirtning  ichki  geometriyasi  tushuntirib 

beriladi 

O’qitish uslubi va texnikasi 

Ko’rgazmali ma’ruza, suhbat 

O’qitish shakli 

Ommaviy, jamoaviy 

O’qitish vositalari 

O’quv qo’llanma, proyektor 

O’qitish shart-sharoiti 

O’TV bilan ishlashga moslashtirilgan 

Auditoriya 

 

Ma’ruza  mashg’ulotining texnologik haritasi 

Ish 

bosqichlari 

va vaqti 

Faoliyat mazmuni 

Ta’lim beruvchi 

Ta’lim 

oluvchilar 

1-bosqich. 

Kirish  

1.1. 

Mavzu, 

uning 

maqsadi, 

o’quv 

mashg’ulotidan  kutilayotgan  natijalar  ma’lum 

qilinadi. 

1.1. Eshitadi, 

yozib oladi. 

2-bosqich 

Asosiy 

 

2.1 Urinma vektor, urinma tekislik 

2.2  Birinchi kvadratik forma 

2.3 Skalyar ko'paytma 

2.4 Izometrik sirtlar  

 

• Sirtning urinma vektori va urinma tekisligi 

ta'riflarini ayting. 

• Sirt urinma tekisligida birinchi kvadratik 

Tinglaydilar, 

yozadilar 

 

Talabalar berilgan 

savollarga javob 

beradilar. 

forma yordamida skalyar ko'paytmani aniqlang. 

• Sirtdagi chiziqlar orasidagi burcha va uni 

hisoblab topish formulasini keltirib chiqaring. 

• Sirtdagi 

 yo'nalish ta'rifi va koordinata 

chiziqlarning yo'nalishini toping. 

• Sirtdagi koordinata chiziqlarining ortogonal 

to'r hosil qilishi zarur va etarli shartini ayting 

va zarurligini isbotlang. 

• Sirt ustidagi soha yuzi tushunchasini ayting. 

• Sirt yuzining birinchi kvadratik forma 

koffesientlari orqali ifodasini keltirib chiqarib 

bering. 

• Sirt uzluksiz funksiya grafigi shaklida beril-

ganda yuzi uchun formulani keltirib chiqaring. 

• Sirtning ichki geometriyasi deb nimaga 

aytiladi? 

• Izometrik sirtlar ta'tifini ayting va unga doir 

misollar keltiring. 

3- bosqich 

Yakuniy 

  

 

3.1.  Mavzuga  yakun  yasaydi  va  talabalar 

e’tiborini  asosiy  masalalarga  qaratadi.Faol 

ishtirok  etgan  talabalarni  rag’batlantiradi. 

Mustaqil  ish  uchun  vazifa:  “  Sirtning  ichki 

geometriyasi    ”  so’ziga  klaster  tuzishni  vazifa 

qilib beradi, baholaydi. 

3.1. Eshitadi, 

aniqlashtiradi. 

3.2. Topshiriqni 

yozib oladi.  

 

Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchak 

 Biz  birinchi  kvadratik  forma 

  ning  matritsasi 

 

ning  determinanati  noldan  farqli  va 

, 

  ekanligini  o'tgan  mavzuda 

ko'rsatgan  edik.  Shu  sababli  birinchi  kvadratik  forma  sirtning  har  bir  nuqtasidagi 

urinma  tekislikda  ko'paytmani  aniqlaydi.  Agar 

  va 

  vektorlar 

 

sirtning 

 nuqtasidagi urinma vektorlari bo'lsa, ular 

 va 

 

vektorlar orqali ifodalanadi:  

 

 

Bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi sifatida ushbu  

 

 

(1) 

 sonni  olamiz. 

, 

  va 

, 

  chiziqlar 

  sirtda 

yotsin, hamda 

 

   va   funksiyalarning birinchi chiziq tenglamasi 

, 

  yordamida  aniqlangan  differentsiallari, 

 

  esa 

  va 

 

(

:

)

du dv

2

2

2

Edu

Fdudv

Gdv





E

F

F

G





















> 0

E

2

> 0

EG

F



a

b

= ( , )

r

r u v

0

0

0

0

0

0

= ( ,

,

) = ( ,

)

r

x y z

r u v

u

r

v

r

1

2

1

2

=

;

=

;

u

v

u

v

a

a r

a r

b

b r

b r





1 1

1 2

2 1

2 2

1 1

1 2

2 1

2 2

< ,

>=

<

,

>

<

,

>

< ,

>

< ,

>=

(

)

u

u

u

v

v

u

v

v

a b

a b

r r

a b

r r

a b

r r

a b

r r

a b E

a b

a b F

a b G













1

=

( )

u

u t

1

=

( )

v

v t

2

=

( )

u

u t

2

=

( )

v

v t

= ( , )

r

r u v

,

du

,

dv

u

v

1

=

( )

u

u t

1

=

( )

v

v t

,

u



v



u

v

funksiyalarning  ikkinchi  chiziq  tenglamasi 

, 

  yordamida  topilgan 

differentsiallari bo'lsin:  

 

 

Egri  chiziqlar  orasidagi  burchak  ularning  kesishish  nuqtasidagi  urinmalar 

orasidagi  burchakga  teng  bo'lganligi  sababli,  ular  orasidagi  burchak  kosinusini 

quyidagicha topish mumkin:  

 

 

(2) 

 Misol.  Sirtdagi 

  va 

  koordinata  chiziqlari  orasidagi 

burchak topilsin. 

Birinchi 

  koordinata  chizig'i  uchun 

  bo'lgani  uchun 

  bu 

erdan va (2) formuladan  

 

 

 ekanligi  kelib  chiqadi.  Demak,  sirtdagi  koordinata  chiziqlari  ortogonal  to'r 

hosil qilishi uchun sirtning har bir nuqtasida 

 bo'lishi zarur va etarlidir. 

Eslatma. 

 vektorning sirtdagi nuqtada aniqlangan yo'nalishini 

odatda 

 kabi ham belgilanadi. 

Sirtdagi soha yuzi 

 

 

 sirt 

 

 tenglama bilan berilgan bo'lib, 

 - tekislikdagi 

soha  bo'lsin. 

  sohani 

  va    koordinata  o'qlariga  parallel 

, 

  to'g'ri 

chiziqlar  chiziqlar  bilan 

  to'g'riturtburchaklarga  bo'lamiz.  U  holda,  sirtdagi 

 va 

 koordinata chiziqlari 

 sirtni 

 egri chiziqli to'rtburchaklarga 

bo'ladi. 

  to'rtburchakning  yuzi  urinma  tekislik 

  da  yotuvchi  va 

tomoulari  

 

 

vektorlar bilan aniqlangan, yuzasi  

 

 

bo'lgan  parallelogram  yuzasidan  kam  farq  qiladi  (ma'lum  shartlarda).  Shu  sababli 

 sirt yuzasining taqribiy qiymati sifatida 

 ni olish mumkin. 

 sirt yuzasida 

esa 

  ning 

  va 

  lar  nolga  intilgandagi  limitini  olish  tabiiydir. 

  va 

 

vektorlar uzluksiz bo'lsa, oxirgi limit mavjud va ushbu integralga teng  

2

=

( )

u

u t

2

=

( )

v

v t

'

'

'

'

1

1

2

2

=

( ) ,

=

( ) ,

=

( ) ,

=

( ) .

du

u t dt

dv

v t dt

u

u t dt

v

v t dt





2

2

2

2

2

2

<

,

>

(

)

cos

=

=

.

2

2

dr

r

Edu u

F du v

udv

Gdv v

dr

r

Edu

Fdudv

Gdv

E u

F u v

G v

















 





















=

u

const

=

v

const

u

=

v

const

= 0,

u



2

2

cos

=

=

Fdu v

F

EG

Edu

G v







= 0

F

=

u

v

dr

r du

r dv



(

:

)

du dv

S

= ( , ),

r

r u v

( , )

u v

D



D

D

u

v

=

i

u

u

=

k

v

v

ik

D

( , )

i

r u v

( ,

)

k

r u v

S

ik

S

ik

S

(

( )

, )

u

i

k

T

S

v

( ,

)

=

;

( ,

)

=

u

i

k

i

u

i

v

i

k

k

v

k

r u v

u

r u

r u v

v

r v









=|

|=|

|

ik

u

i

v

k

u

v

i

k

r u

r v

r

r

u v



  



 

S

ik





S

ik





i

u



k

v



u

r

v

r

 

 

Demak, 

 sirt yuzi quyidagicha topilar ekan:  

 

 

(3) 

Oxirgi formulani quyidagicha o'zgartirib yozishimiz mumkin:  

 

 

 chunki  

 

 

 

Endi soha yuzi uchun formulani ushbu  

 

 

(4) 

 ko'rinishda yozish mumkin. 

 

Endi sirt uzluksiz funksiya 

 

 grafigi bo'lgan hususiy holni  

qaraymiz. Bu holda 

 

 

 bo'lgani uchun  

 

 

va  

 

 

bo'ladi. Shuning uchun (8) formula  

 

 

(5) 

ko'rinishda bo'ladi. 

 

|

|

.

u

v

D

r

r dudv





S

=

|

|

.

u

v

D

r

r dudv







2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

|

|= |

| = |

| |

|

=

=

sin

cos

( , ) =

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

r

r

r

r

r

r

r r

r r

r r

r r

EG

F















= ( , ),

= ( , ),

= ( , ).

u

u

u

v

v

v

E

r r

F

r r

G

r r

2

=

D

EG

F dudv







=

( , ),

z

f x y

( , )

x y

D



= ,

u

x

= ,

v

y

( , ) = ( , , ( , ))

r u v

x y f x y

=

= (1, 0,

),

=

= (1, 0,

)

u

x

x

v

y

y

r

r

f

r

r

f

2

2

2

2

=

= 1

,

=

= 1

,

= ( , ) =

x

x

y

y

x

y

x

y

E

r

f

G

r

f

F

r r

f f





2

2

=

1

x

y

D

f

f dxdy







