2- amaliy mashg‘ulot: Diskret Fure almashtirish

2- amaliy mashg‘ulot: Diskret Fure almashtirish

Ham bir o‘lchamli, ham ko‘p o‘lchamli signallarga, shu jumladan tasvirlarga ishlov berishning eng keng tarqalgan usullaridan biri ortogonal o‘zgartirish hisoblanadi. Ayniqsa, RTVda simvollarni uzatish tezligini kamaytirish va mos ravishda arxivda saqlash uchun kanal chastotalar polosasi va qurilmalarning xotirasi hajmini kamaytirish masalasini yechishda ortogonal o‘zgartirishlarning roli yuqori bo‘ladi.

Ortogonal o‘zgartirishlarni mazmuni ortogonal bazis funksiyalarining yig‘indisi ko‘rinishida dastlabki signalni berishdan iborat. X(t) va Y(t) funksiyalari, agar ularning skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, (t₁, t₂) bo‘lakda ortogonal deyiladi:
, (7.1)
Bu tavsif sonlarning ketma-ketligi orqali beriladigan diskret signallarga ham qo‘llanishi mumkin. N sanoqlarga ega bo‘lgan x(n) va y(n) diskret signallar quyidagi shart bajarilsa, ortogonal deyiladi:
, (7.2)
Ortogonal o‘zgartirishning qo‘llanishiga eng ma’lum misollardan biri x(t) davriy signalni Fur’e qatoriga yoyish hisoblanadi:
, (7.3)
bu yerda ₀ = 2 / T;
T – signalning takrorlanishi davri.
Fure qatorining a_k va b_k haqiqiy koeffitsientlari quyidagi nisbat orqali aniqlanadi:
, , , (7.4)
Fur’e qatoriga yoyish kompleks yoyish quyidagi ko‘rinishga ega:


, (7.5)
bu yerda - garmonikalar kompleks amplitudasi.
Fure diskret o‘zgartirishi (FDO‘) quyidagi ko‘rinishga ega:


, n = 0, 1, 2, …, N-1, (7.6)
bu yerda x(k) DKO‘ koeffitsienti orqali aniqlanadi:


, k = 0, 1, 2, …, N-1, (7.7)
(7.7) formula bo‘yicha X(k) koeffitsientlarni topish odatda to‘g‘ri o‘zgartirish deyiladi, (7.6) formulaga muvofiq bu koeffitsientlarni olish esa teskari DKO‘ deyiladi.
Faqat haqiqiy sonlar bilan ishlash uchun odatda quyidagi nisbat orqali aniqlanadigan diskret-kosinus o‘zgartirish (DKO‘) yordamida yoyish ishlatiladi:


, (7.8)
bu yerda DKo‘ koeffitsientlari qo‘yidagi formulalar bo‘yicha aniqlanadi:


, , k = 1, 2, …, N-1, (7.9)


x(n) bo‘yicha C(k) qiymatni topish to‘g‘ri DKO‘, x(n) signalni C(k) bo‘yicha berilishi esa teskari DKO‘ deyiladi.
FTO‘dan DKO‘ga o‘tishda o‘zgartirishlar yadrosi quyidagicha aniqlanadi:


, gde W = exp , (7.10)

(7.10) formula FTO‘ va DKO‘ yadrolari orasidagi o‘zaro aloqani aks ettiradi. FTO‘ va DKO‘ orasidagi o‘zaro aloqani aks ettiradigan ortogonal DKO‘ uchun analitik ifodani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

, , (7.11)
bu yerda k’ {1, 2, …, N}, A(i) = 0, i  {1, 2, …, N-1}.
Mos matematik o‘zgartirishlardan keyin ortogonal o‘zgartirish uchun ifoda soddalashadi:


, , k’ {1, 2, …, N-1}, (7.12)
bu qo‘shimcha A(i) = 0, i  {N, N+1, …, 2N-1} shartsiz yozuvga mos keladi.
(7.11) va (7.12) nisbatlar DKO‘ F(0) va F(k) bir o‘lchamli koeffitsientlarini aniqlashning ikkita teng qimmatli usullarini tavsiflaydi. (7.11) nisbatga muvofiq N tartibli bir o‘lchamli DKO‘ spektral koeffitsientlarini 2N tartibli FKO‘ N spektral koeffitsientlaridan kelib chiqish bilan topamiz. [F_k] yadroli (7.12) asosiy formuladan vektor ustuni spektral matritsasining ifodasini olamiz:

[F] = [F_k][A], (7.13)

bu yerda [F_k], [A] – mos ravishda vektorlarning F_k matrislari – ustunlari va dastlabki signalni o‘zgartirish matritsasini A satrlari.

Bir-birlaridan ko‘paytirish operatsiyalari (KO), qo‘shish operatsiyalari (QO) va ayirish operatsiyalari (AO) soni bilan farqlanadigan va turli masalalarni bajarishga mo‘ljallangan Fure tez o‘zgartirishi (FTO‘) algoritmlarini qurish usullarining amaliy ishlatilishi uchun yetarli nazariy asoslar mavjud. FTO‘ ortiqcha operatsiyalarni (OO) tuzatishdan iborat bo‘lgan FDO‘ni hisoblash uchun algoritmlardan biri hisoblanadi.
Quyida N = 4 va N = 8 tartib uchun ishlab chiqilgan tez diskret-kosinus o‘zgartirish (TDKO‘) algoritmlarini analitik berilishi va ularni Fure to‘g‘ri o‘zgartirishi bilan taqqoslash natijalari keltiriladi
Bir o‘lchamli DKO‘ formulasini quyidagi tarzda yozish mumkin:


, (4.14)

bu yerda C(x) – me’yorlashtirilgan ko‘phad, W = 1, 2, 3, …, N-1 bo‘lganda

C(0) = , C(W) = 1. N = 4 va N = 8 DKO‘ uchun u quyidagi ko‘rinishga ega:


, , (7.15)

(7.15) formuladan foydalanish bilan mos ravishda har bir to‘rtta va har sakkizta kosinus koeffitsientlaridan hisoblash uchun ifodani aniqlaymiz:

F(0) = (A(0) + A(1) + A(2) + A(3))

F(1) = (0,923A(0) + 0,382A(1) – 0,3892A(2) - 0,924A(3))
F(2) = (A(0) - A(1) - A(2) + A(3))
F(3) = (0,923A(0) - 0,382A(1) + 0,3892A(2) - 0,924A(3))
Signallarni spektr orqali ifodalash