2-§ Чекли вариацияли фукциялар учун

2-§ Чекли вариацияли фукциялар учун
зарурий ва етарли шартлар.


4. Айтайлик, функция [а,b] оралиқда аниқланган бўлсин. Бу параграфда биз берилган функциянинг чекли вариацияга эга бўлиши мезонларини келтирамиз.
10-теорема. функциянинг [а,b] кесмада чекли вариацияга эга бўлиши учун шу кесмада монотон ўсувчи ва чегараланган шундай функциянинг мавжуд бўлиб ихтиёрий кесмада
(11)
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Шундай хоссага эга бўлган функцияга функция учун мажоранта дейилади.
◄Зарурлиги. Фараз қилайлик, функция чекли вариацияга эга бўлсин. Унда

деб белгиласак, функция [а,b] кесмада монотон ўсувчи ва чегараланган бўлади. Тўлиқ вариациянинг таърифига кўра

тенгсизлик бажарилади.

Етарлилиги.

Айтайлик, (11)-тенгсизлик бажарилсин. Унда
.
чекли вариацияли функция.►
11-теорема. функция [а,b] кесмада чекли вариацияга эга бўлиши учун уни шу оралиқда иккита монотон ўсувчи ва чегараланган функцияларнинг айирмаси кўринишида ифодалаш мумкин бўлиши зарур ва етарли:
. (12)
◄Зарурлиги. Айтайлик, функция [а,b] кесмада чекли вариацияга эга бўлсин. Унда 10-теоремага кўра шундай мажоранта топиладики, унинг учун (11)- тенгсизлик бажарилади. Тузилишига кўра функция монотон ўсувчи ва чегараланган. Агар
ва
деб белгиласак, бўлади ҳамда қуйидаги муносабат бажарилади:
,
ва ва чегараланган, чунки
.
Етарлилиги. Фараз қилайлик, ва функциялар [а,b] кесмада монотон ўсувчи ва (12)-тенгсизлик бажарилсин.

деб олиб, унинг учун мажоранта бўлишини кўрсатамиз:
– мажоранта. Унда 10-теоремага кўра функция [а,b] кесмада чекли вариацияга эга бўлади.►
Натижа. Агар функция [а,b] кесмада чекли вариацияга эга бўлса,унда нуктада унинг чекли бир томонли лимитлари мавжуд:
(13)
◄11-теоремага кўра шундай ўсувчи ва чегараланган ва функциялар топиладики,

тенглик бажарилади. Математик анализ курсидан маълумки,монотон функциялар учун чекли
ва

лар мавжуд (13).►