2-§. O‘zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan tenglamalar

2-§. O‘zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan tenglamalar

Ushbu ko‘rinishdagi tenglamaga o‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Uning o‘ziga xos tomoni shundaki, dx oldida faqat x ga bog‘liq ko‘paytuvchi, dy oldida esa faqat u ga bog‘liq ko‘paytuvchi turadi. Bu tenglamaning echimi uni hadma-had integrallash yo‘li bilan aniqlanadi:

Differensial tenglamaning oshkormas holda ifodalangan echimi bu tenglamaning integrali deyiladi. Integrallash doimiysi ni echim uchun qulay ko‘rinishda tanlash mumkin.
1- misol: tenglamaning umumiy echimini toping.
Echish: Bu erda o‘zgaruvchilari ajralgan tenglamaga egamiz. Uni hadma-had integrallaymiz:
yoki
Bu erda integrallash doimiysi ni , ya’ni
orqali belgilash qulaydir, bundan
yoki umumiy integralni topamiz.
Ta’rif.
(1.4)
ko‘rinishdagi tenglamalar o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataladi, bu erda va uzluksiz funksiyalar.
(1.4) tenglamani echish uchun unda o‘zgaruvchilarni ajratish kerak. Buning uchun (1.4) da ni o‘rniga ni yozib, tenglamaning ikki tomonini ga bo‘lamiz va ga ko‘paytiramiz. U holda (1.4) tenglama
(1.5)
ko‘rinishga keladi. Bu tenglamada o‘zgaruvchi faqat o‘ng tomonda, o‘zgaruvchisi esa chap tomonda ishtirok etyapti, ya’ni o‘zgaruvchilar ajratildi. (1.5) tenglikni har ikki tomonini integrallab,

ekanligini hosil qilamiz, bu erda ixtiyoriy o‘zgarmas.
2-misol. tenglamani eching.
Echish. Berilgan tenglama (1.4) ko‘rinishdagi tenglama, bu erda va . O‘zgaruvchilarni ajratib, tenglamani hosil qilamiz. Uni integrallab , yoki va bu tenglikni potensirlab, umumiy echimni topamiz.
Faraz qilaylik, umumiy echimdan boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy echim topish talab

qilinyapti. Bu qiymatlarni ga va y larni o‘rniga qo‘yib, yoki ni topamiz. Demak, xususiy echim ekan.

Quyidagi tenglamalarni eching
1.
2 .
3.
4.
5.
6.
7.
8. .
9.
10.
11.
12.