2. Bessel funksiyalari uchun rekurrent munosabatlar

4. Bessel funksiyalarining nollari. Ortogonallik munosabatlari.
(1)-tenglamada almashtirish bajaraylik:

Bu tenglamani
(24)
ko’rinishga keltirib olaylik. Shu tenglamani bir gal parametr bilan, bir gal parametr bilan yozib olib, li tenglamani ga ni tenglamani ga ko’paytiramiz va birini ikkinchisidan ayiramiz. Natijada

formulani olamiz (har bir shtrih bo’yicha hosila). Tenglamaning chap tomonini bizning maqsadimiz uchun qulayroq ko’rinishga keltiraylik:


Demak,

(25)
Faraz qilaylik, va sonlar quyidagi tenglamaning yechimlaridan bo’lsin:
(26)
Unda (25)-ning o’ng tomoni holda nolga teng bo’ladi va biz olamiz:
(27)
holni quyidagicha ko’ramiz. (25)-ning o’ng tomonida deymiz va limitga o’tamiz:


Bessel tenglamasidan

kelib chiqadi, shuni ishlatib
(28)
munosabatga kelamiz. (27)- va (28)-formulalar Bessel funksiyalarining o’zaro ortogonalligini va normasini ko’rsatadi.
(26)-ga qaytib kelaylik. Agar bo’lsa soni tenglamaning yechimi, ya’ni, Bessel funksiyasining noli bo’ladi. Bessel funksiyalarining nollari masalasi adabiyotda keng muhokama qilinadigan masaladir. Ma’lumki, bo’ladi va ning birinchi noli ga teng, qolgan nollari shu songa taxminan larni qo’shib olinadi. holda Bessel funksiyalari koordinat boshida nolga teng bo’ladi , ularning boshqa nollarini matematik jadvallardan topish mumkin.
Xulosa.
Eng koʻp ishlatiladigan Bessel funktsiyalari butun sonli tartiblarning funktsiyalaridir.
Garchi {\displaystyle \alpha }va {\displaystyle (-\alpha )} bir xil tenglamalarni yaratadi, ular odatda turli funktsiyalar ularga mos kelishiga rozi boʻlishadi (bu, masalan, Bessel funktsiyasida {\displaystyle \alpha }silliq boʻlishi uchun amalga oshiriladi.). Bessel funktsiyalari birinchi marta shveytsariyalik matematik Daniel Bernoulli tomonidan aniqlangan va Fridrix Bessel sharafiga nomlagan. Bessel tenglamasi silindrsimon va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasi va Gelmgolts tenglamalarining yechimlarini topishda yuzaga kelib qoladi. Shuning uchun Bessel funktsiyalari toʻlqinlarning tarqalishi, statik potentsiallar va boshqalarning koʻplab muammolarini hal qilishda qoʻllaniladi, masalan:

• 
  silindrsimon toʻlqin qoʻllanmada elektromagnit toʻlqinlar ;
  
• 
  silindrsimon ob’ektlardagi issiqlik oʻtkazuvchanligi ;
  
• 
  yupqa dumaloq membrananing toʻlqin shakllari;
  
• 
  dumaloq tuynuk bilan diffraksiyalangan yorugʻlik intensivligini taqsimlash;
  
• 
  suyuqlik bilan toʻldirilgan va oʻz oʻqi atrofida aylanadigan silindrdagi
  
• 
  zarrachalarning tezligi;
  
• 
  sferik simmetrik potentsial qutidagi toʻlqin funktsiyalari.
  

Bessel funktsiyalari boshqa muammolarni hal qilishda, masalan, signalarni qayta ishlashda ham qoʻllaniladi.
Bessel funksiyasi sinus funksiyasini umumlashtirilishidir. Bu oʻzgaruvchan qalinligi, oʻzgaruvchan kuchlanish (yoki ikkala shart bir vaqtning oʻzida) boʻlgan ipning tebranishi sifatida talqin qilinishi mumkin; oʻzgaruvchan xususiyatlarga ega boʻlgan muhitda tebranishlar; disk membranasining tebranishlari va boshqalarni oʻz ichiga oladi.