2 Глава I. Функции от сложных процентов до показательной функции

Музыка и логарифмы
Пифагор был не только великим математиком, но и хорошим музыкантом. Он установил, что приятные сочетания звуков соответствуют определённым соотношениям между длинами колеблющихся струн или расстояниями между дырочками свирели, и создал первую математическую теорию музыки. И хотя музыканты не любят «проверять алгеброй гармонию», они всё время имеют дело с математикой, так как современная гамма основана на логарифмах. Вот отрывок из статьи известного русского физика А.А. Эйхенвальда: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Правда, Пифагор нашёл какие-то соотношения между звуковыми колебаниями – но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой. Представьте же себе, как неприятно был поражён мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам современного рояля, он играет собственно говоря, на логарифмах». И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Положим, что нота do самой низкой октавы – будем называть её нулевой октавой – определена nколебаниями в секунду. Тогдаdo первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-ой октавы n* колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами р, принимая основной тон каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la – 9-й и т.д.; 12-ый тон опять будет do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в  большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой:  . Логарифмируя эту формулу, получаем :  или
 , а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n=1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или просто принимая  ), имеем:  . Отсюда видно, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве – мантиссу этого логарифма.