2-ma’ruza. Determinantlar nazariyasi

2.2-misol. Agar RPOKUTME harfli o’rin almashtirishni tartib deb qarab, unga nisbatan KOMPUTER o’rin almashtirishining juft yoki toqligini aniqlang.
Yechilishi. K harfi O, P, R harflari bilan 3 inversiyani tashkil qiladi. O harfi P, R bilan 2 inversiyani, M harfi P, U, T, R harflari bilan 4 ta inversiyani, P harfi R harfi bilan 1 inversiyani, U harfi R bilan 1 inversiyani, U harfi R bilan 1 inversiyani, T harfi R bilan 1 inversiyani, E harfi R bilan 1 inversiyanm hosil qiladi. Hammasi bo’lib KOMPUTER o’rin almashtirishida 14 ta inversiya bor. Demak, bu o’rin almashtirish juft. ■
2.3-misol. ( 2n, 2n-2, ..., 6, 4, 2, 2n-1, 2n-3, ..., 5, 3, 1 ) (1)
o’rin almashtirishida inversiyalar sonini toping. O’rin almashtirishi juft bo’ladigan
n larning va toq bo’ladigan n larning umumiy ko’rinishini ko’rsating. Yechilishi.
Inversiyalar sonini hisoblaymiz:

(2n  1)  (2n  3)  ...  5  3  1  (n  1)  (n  2)  ...  2  1 
_ 1  (2n  1) _{ n } 1  (n  1) _{ (n  1)  n2 } n(n  1) _ 1 _{n(3n  1)}
2 2 2 2
bundan n = 4k va n = 4 k + 3 bo’lgandagina (1) o’rin almashtirish juft bo’lishini ko’ramiz. ■
2.4-misol. (9, 5, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 2) o’rin almashtirishdan (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) o’rin almashtirishga o’tish mumkin bo’lgan transpozitsiyalarni ko’rsating.
Yechilishi. Bu transpozitsiyalar quyidagilardan iboratligini ko’rish qiyin emas. (5, 8), (1, 7), (5, 6), (3, 5), (1, 4), (1, 3), (2, 1). ■

3. 
   n - tartibli determinantning ta’rifi
   

n - tartibli determinant deb quyidagi simvol bilan belgilangan sonni ataymiz:


^a11 ^a12 ^a1n
_{D } ^a21 ^a22 ^{ a}2n

^an1 ^an2 ^{ a}nn
n-tartibli determinant yoki n > 1 da A matritsaning determinanti deb, shu matritsaning elementlaridan quyidagi formula yordamida hosil qilingan songa aytiladi:

A  det A  a
^a11
n _ ^a21
^a12 ^a22
...
...
^a1n
^a2n _

ij ₁
...
^an1
...
^an2
...
...
...
^ann

1 1

2 2
 _(1)^{S t} a_{i j} a_{i j}
...a_{i j}
 _(1)^k a_1k a_2k
...a_nk .

n n

1

2

n
Bunda birinchi to’rtta ifoda determinantning belgilanishi; birinchi summa o’zaro teng bo’lmagan barcha

_ i₁ i₂ ...
i_{n }


j j ...
 , (*)
j

 1 2 n 

o’rniga qo’yishlar bo’yicha olinib, bunda s – yuqori satrdagi inversiyalar soni,
t – quyi satrdagi inversiyalar soni, ikkinchi summa barcha (k₁, k₂, ..., k_n) o’rin almashtirishlar bo’yicha olinib, k - bu o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni. Bu ikki summa aynan tengdir. Summalardagi qo’shiluvchilar determinantning hadlari deyiladi; determinantning har bir hadi – matritsaning har bir satridan bittadan, har bir ustunidan bittadan olingan n ta elementlar ko’paytmasiga teng bo’lib, agar (*) o’rniga qo’yish juft bo’lsa, bu ko’paytma o’z ishorasi bilan, agar o’rniga qo’yish toq bo’lsa, teskari ishora bilan olinadi. Birinchi tartibli determinant o’zining yagona elementiga teng. n-tartibli determinantning barcha elementlari soni n! ga teng. A matritsaning elementlari, satrlari, ustunlari mos determinantning elementlari, satrlari, ustunlari deb ataladi.
n -tartibli determinant n ta satr, n ta ustun va n² ta elementga ega, bunda
a₁₁, a₂₂, a₃₃,...,a_nn elementlar birinchi ( bosh) diagnolni , esa ikkinchi (yordamchi) diagonalni tashkil etadi.
a_1na_2,n1,...,