2-маъруза Мавзу: нуқтанинг кучланиш ҳолати

IV. Бош кучланиш ва бош юзаларнинг йўналишларини аниқлаш.

3.12 –шаклда кўрсатилган параллелипипеднинг томонларига таъсир этаётган нормал ва уринма кучланишлар маълум бўлган ҳолда бош кучланишларни ва бош юзаларнинг йўналишларини аниқлаймиз .

Бунинг учун (3.6) ва (3.10) формулаларни иккала томонини квадратга кўтариб ҳосил бўлган тенгламаларни ҳадлаб қўшамиз :

бундан
(3.12)
келиб чиқади.

Юқорида қабул қилганимиздай энг катта, эса энг кичик, яъни ва деб ҳисобласак бўлади. Шунинг учун (3.12) формуладаги квадрат илдиз олдида мусбат ишорани оламиз. Шундай қилиб, (3.9) ва (3.12) формулалардан

ёки

Шунга ўхшаш

Бу иккала ифодаларни бирлаштириб, бош нормал кучланишларни аниқлаш формуласини ҳосил қиламиз :
(3.13)
Бош юзаларнинг йўналишларини аниқлаш формуласини чиқариш учун (3.6) формулани (3.10) формулага бўламиз :
,
бундан
(3.14)
ёки (3.11) формулага асосан
(3.15)
келиб чиқади.
Бу ерда - бош юза нормалининг кучланиш йўналиши билан ҳосил қилган бурчаги. Бу (3.14) ва(3.15) формулалар бурчак учун ўзаро тик бўлган икки юзанинг йўналишини аниқловчи қийматларни беради, улар бир-биридан 90⁰ га фарқ қилади. Бу юзаларнинг бирига бош нормал кучланиш ва иккинчисига бош нормал кучланиш таъсир қилади (3.13-шакл).


V. Ҳажмий ва текис кучланиш ҳолатларида умумлашган Гук қонуни.
Ҳажмий кучланиш ҳолатидаги жисмнинг бирор нуқтасидаги бош юзаларга параллел бўлган учта текислик билан чегараланган чексиз кичик параллелипипед ажратамиз (3.15-шакл).
Бу параллелипипед томонларига фақат бош кучланишлар таъсир қилади. Юқорида марказий чўзилувчи стерженнинг бўйлама ва кўндаланг деформацияларга учрашини ҳамда деформациялар нормал кучланиш билан қуйидагича боғланишда эканлигини кўрган эдик .
(3.16)
(3.17)
Энди, кучлар таъсирининг мустақиллик приципидан ҳамда (3.16) ва (3.17) нисбатлардан фойдаланиб, ва лар орқали ва деформацияларни топамиз. кучланиш йўналишидаги нисбий деформациялар йиғиндиси ни учта қўшилувчи орқали ифодалаш мумкин ;
, (а)
бунда -фақат таъсиридан ўқи йўналиши бўйича пайдо бўладиган ва (3.16) формула билан топиладиган деформация, чунки у га нисбатан бўйлама деформация ҳисобланади (3.17-шакл,а) ; ўқи йўналиши бўйича кучланиш таъсиридан ҳосил бўлган деформация. Бу га нисбатан кўндаланг деформация бўлиб (3.17-шакл,б), (3.17) формула билан топилади ; ўқи йўналиши бўйича кучланишдан ҳосил бўлган деформация бўлиб, (3.17) формуладан аниқланади.
бош кучланиш таъсиридан 1– томон ўқи йўналиши бўйича миқдорга узаяди (3.17-шакл,а), шу томон

бош кучланишлар таъсиридан ўқига параллел йўналишда миқдорларга қисқаради (3.17.-шакл,а).

Шундай қилиб, 1-томоннинг тўла нисбий чўзилиш ( ) формулага асосан қуйидагича топилади :

Худду шундай ифодани ва лар учун ҳам юқоридаги мулоҳазаларни юритиб ёзиш мумкин.
Бинобарин, бош кучланишлар йўналишидаги деформациялар учун қуйидаги ифодаларни ҳосил қиламиз :
(3.18)
Бу учала бош кучланиш ( ) ларнинг бири сиқувчи бўлса, (3.18) формулаларда унинг ишорасини манфийга алмаштириш керак. (3.18) муносабатларга ҳажмий кучланиш ҳолатидаги умумлашган Гук қонуни дейилади ва пропорционаллик чегарасида ҳажмий кучланиш ҳолати учун кучланиш билан деформация орасидаги боғланишларни ифодалайди.
Текис кучланиш ҳолати учун бош кучланишлар йўналишидаги деформациялар ифодасини (3.18) формулалардан келтириб чиқарса бўлади. Масалан, текис кучланиш ва бош кучланишлар билан берилган бўлсин ( ), у ҳолда :
(3.19)
Шундай қилиб, нинг нолга тенглиги нинг ҳам нолга тенглигини билдирмасдан, балки бу учинчи бош кучланиш йўналиши бўйича ҳам деформация содир бўлишини кўрсатар экан. Масалан, пластинкани унинг текислигида чўзганимизда қалинлигининг камайишини (3.19) формуланинг учинчисидан фойдаланиб аниқлаш мумкин.
Бу ҳол учун бош кучлаш ва лар маълум бўлганда (3.19) формулаларнинг юқориги иккитасидан фойдаланиб ва деформациялар ҳисобланади. Баъзи ҳолларда юқоридаги масалага тескари масалани ҳам ечишга тўғри келади, у ҳолда ва бош кучланишлар ва нисбий деформациялар орқали қуйидагича ифодаланади :
(3.20)