2-ma’ruza Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar bilan integral tenglama orasidagi bog’lanishlar Reja

1-misol. Ushbu tenglama

va

boshlang’ich shartlar berilgan. Bularga mos integral tenglama tuzilsin.
Noma’lum funktsiyaning ikkinchi xossasini quyidagicha belgilaymiz:


Berilgan shartlarga ko’ra x=0 bo’lganda, y`=0 bo’ladi, demak c₁=0. Shuning uchun

U holda bu yerdan

Endi x=0 bo’lganda y=1 bo’lgani sababli, so’nggi tenglikdan c₂=1 kelib chiqadi. Demak,

Koshi formulasiga asosan buni

ko’rinishda yozish mumkin.
Mana shu y``, y`, y lar uchun aniqlangan ifodalarni berilgan differensial tenglamaga qo’yamiz:

Bu ifodadagi integrallarni birlashtirsak, ushbu

integral tenglama hosil bo’ladi.
2 – misol. Ushbu differensial tenglama


boshlang’ich shartlari berilgan. bularga mos integral tenglama tuzilsin.
Odatdagicha

deb belgilaymiz. Bundan

Boshlang’ich shartlarga ko’ra x=0 bo’lganda, y`=1, shu sababli, c₁=1 bo’ladi. Demak

Bundan yana bir marta integral olinsa,

Boshlang’ich shartlarga ko’ra x=0 bo’lganda, y=0 bo’lishi kerak, shu sababli c₂=0 bo’ladi. Koshining yuqorida keltirilgan formulasiga muvofiq

Endi berilgan differensial tenglamaga y, y`` lar uchun aniqlangan ifodalarni qo’yamiz, u holda

Bundan esa ushbu

Integral tenglama kelib chiqadi.
3 – misol. Ushbu

differensial tenglama va

Boshlang’ich shartlar berilgan. bularga mos integral tenglama tuzilsin.
Odatdagicha,

deb belgilab olamiz va uning ikki tomonini dx ga ko’paytirib so’ngra integrallaymiz.

Boshlang’ich shartlarga ko’ra undan c₁=1 kelib chiqadi. U holda

Bundan yana integral olinsa,

kelib chiqadi. Boshlang’ich shartlarga ko’ra c₂=1 bo’ladi.
Demak,

bo’lib, undan so’nggi marta integral olsak,


hosil bo’ladi. Boshlang’ich shartlarga asosan C₃=1 bo’ladi.
Endi Koshining (12) formulasiga muvofiq takroriy integrallarni oddiy integrallarga aylantirilsa va y```,y``,y` y uchun aniqlangan ifodalarni berilgan differintsial tenglamaga qo’yib ixchamlashtirilsa, quyidagi natija kelib chiqadi:
Адабиётлар:

1. 
   М.Салоҳиддинов “Интеграл тенгламалар”.
   
2. 
   М.Л.Красанов “Интегралние уравнения”, Наука М:1975
   
3. 
   Ш.Т.Мақсудов “Чизиқли интеграл тенгламалар элементлари” Тошкент “Ўқитувчи” 1975-й.