2-Ma’ruza. Reja 1 Akslantirish tushunchas

2-Ma’ruza. 

 

Reja 

1

0

. Akslantirish tushunchasi. 

2

0

. Akslantirishning turlari. 

3

0

. Ekvivalent to„plamlar. Sanoqli to„plamlar. 

 

1

0

. Akslantirish tushunchasi. 

 

 va 

 to„plamlar berilgan bo„lsin. 

1-ta’rif.  [3,  Definition  3.3.1,  49-bet]Agar    to„plamdan  olingan  har  bir   

elementga  biror 

  qoida  yoki  qonunga  ko„ra 

  to„plamning  bitta 

  elementi 

  mos  qo„yilgan  bo„lsa, 

to‘plamni 

to‘plamga  akslantirish  berilgan 

deyiladi va  

 yoki 

,     

 

kabi  belgilanadi.  Bunda 

  to„plam 

  akslantirishning  aniqlanish  to‘plami 

deyiladi. 

1-misol.  Ushbu   

  va 

  to„plamlar  berilgan 

bo„lsin. 

1) har bir natural 

 songa  

sonni  mos qo„ysak, unda 

 

akslantirish hosil bo„ladi. Uni 

 kabi ham yoziladi. 

2)  har  bir  natural  son 

  songa 

sonni    mos  qo„ysak, 

unda  

 

akslantirishga ega bo„lamiz:  

. 

3) har bir natural 

 songa 

 sonini  mos qo„yish natijasida 

 

akslantirish hosil bo„ladi: 

. 

Aytaylik,  

E

F

E

x

f

F

y





F

y



E

F

F

f:E



y

x

f







F

y

E

x





,

E

f





...

3,

2,

1,



N

















...

,

3

1

,

2

1

1,

N





N

n

n



n

1

















N

n

1

n

n

,

N

N

f

f

1

:







 

n

n

f

1







N

n

n



2

1

n

















N

n

2

1

2

1

:

n

n

,

N

N











2

1

)

(

n

n









N

n

n



)

1

(

1

N





1

:

g

n

,

N

N

g







1

)

(



n

g

 

akslantirish  berilgan  bo„lsin. 

  elementga  mos  qo„yilgan 

  element 

 

ning aksi (obrazi) deyiladi va 

  kabi belgilanadi. 

Endi   

  elementni  olaylik. 

  to„plamning  shunday 

  elementlarini 

qaraymizki, 

 bo„lsin.  Bunday 

  elementlar 

  ning  asli 

(proobrazi) deyiladi va 

 kabi belgilanadi: 

 

[Definition 3.4.1, 56-bet]Agar 

 bo„lsa, ushbu  

 

to„plam  to‘plamning  dagi aksi deyiladi va 

 kabi belgilanadi: 

. 

[Definition 3.4.4, 57-bet]Agar 

 bo„lsa, ushbu 

 

to„plam  to‘plamning  dagi asli deyiladi va 

 kabi belgilanadi: 

. 

2-misol.  Faraz  qilaylik, 

va 

  to„plamlar 

berilgan bo„lib, ushbu 

 

akslantirish quyidagi 

 

ko„rinishda bo„lsin.  

Ravshanki, 

 

ning 

aksi 

; 

ning 

asli 

esa 

  bo„ladi.  Shuningdek, 

  to„plamning  aksi 

, 

 to„plamning asli esa  

 

bo„ladi. 

Faraz  qilaylik, 

  va 

  to„plamlari 

  to„plamning  qismiy  to„plamlari 

bo„lsin: 

. Unda 

.               (1) 

bo„ladi. 

◄ Aytaylik,

 bo„lsin. Unda 

 bo„lib, 

 va 

 bo„ladi. Keyingi munosabatlardan 

 bo„lishi kelib 

chiqadi. Demak, 

. Bundan esa 

 

 

 

(2) 

bo„lishini topamiz. 

F

E

f



:

E

x



F

y



x

 

x

f

y



F

y



E

x

 

y

x

f



E

x



E

y



)

(

1

y

f







.

y

x

f

|

E

x

y

f









)

(

)

(

1

E

A







A

x

|

x

f



)

(

A

F

 

A

f

 

 





A

x

x

f

A

f





F

B



}

)

(

{

B

x

f

|

E

x





B

E

 

B

f

1



  



B

x

f

|

E

x

B

f









)

(

1

...}

,

,

...

,

3

,

2

,

1

{

n

N



}

1

,

1

{





M

M

N

f



:

n

n

f

)

1

(

)

(





N



5

 

1

5





f

M



1

...}

,

6

,

4

,

2

{

)

1

(

1





f

N

A





}

4

,

3

{

M

A

f







}

1

,

1

{

)

(

M

B







}

1

{

 

...}

,

5

,

3

,

1

{

1





B

f

A

B

F

F

B

F

A





,





 

 













1

1

1

f

f

B

A

f









B

A

f

x



1





 

B

A

x

f





A

x

f



)

(

B

x

f



)

(

 

 

B

f

x

A

f

x

1

1

,









 

 

B

f

A

f

x

1

1









)

(

)

(

)

(

1

1

1

B

f

A

f

B

A

f













Aytaylik, 

  bo„lsin.  Unda 

  va 

 

bo„lib, 

  bo„ladi.  Natijasi 

  bo„lib,  undan 

 bo„lishini topamiz. Bu esa 

 

 

 

        (3) 

bo„lishini bildiradi. 

(2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning o„rinli bo„lishi kelib chiqadi. ► 

Yuqoridagidek, 

, 

 

tengliklarning o„rinli bo„lishi isbotlanadi. 

 

2

0

. Akslantirishning turlari. 

 

Aytaylik,  

   

 

 

(4) 

akslantirish berilgan bo„lib, 

 esa   to„plamning aksi bo„lsin: 

 

2-ta’rif. Agar (4) akslantirishda  

 

bo„lsa, (4) akslantirish    to„plamni   to„plamning ichiga akslantirish deyiladi. 

Masalan, 

 

to„plamlari uchun ushbu 

 

akslantirish 

 to„plamni 

 to„plamning ichiga akslantirish bo„ladi. 

3-ta’rif. [Definition 3.3.17, 53-bet] Agar (4) akslantirishda 

 

bo„lsa, (4) akslantirish E to„plamni   to„plamning ustigaakslantirish(syur’ektiv 

akslantirish) deyiladi. 

Masalan,  

 

to„plamlari uchun 

 

akslantirish 

 to„plamni 

 to„plamning ustiga akslantirish bo„ladi. 

4-ta’rif.  Agar  (4)  ustiga  akslantirish  bo„lib,  bu  akslantirish 

  to„plamning 

turli  elementlarini 

  to„plamning  turli  elementlariga  akslantirsa,  (4)  in’ektiv 

akslantirish deyiladi. 

)

(

)

(

1

1

B

f

A

f

x









)

(

1

A

f

x





)

(

1

B

f

x





B

x

f

A

x

f





)

(

,

)

(

B

A

x

f





)

(

)

(

1

B

A

f

x







)

(

)

(

)

(

1

1

1

B

A

f

B

f

A

f













)

(

)

(

)

(

1

1

1

B

f

A

f

B

A

f













)

(

)

(

)

(

B

f

A

f

B

A

f







F

E

f



:

)

(E

f

E





.

|

)

(

)

(

E

x

x

f

E

f





F

E

f



)

(

E

F



















...

,

3

1

,

2

1

,

1

...},

,

3

,

2

,

1

{

N

N

n

n

N

N

f

f

3

1

,

:







N

N



F

E

f



)

(

F

}

1

,

1

{

,

...}

,

3

,

2

,

1

{







M

N

n

f

n

)

1

(





N

M

E

F

5-ta’rif.[Definition  3.3.14,  54-bet]  Agar  (4)  ustiga  akslantirish  bo„lib,  u 

in‟ektiv  akslantirsh  ham  bo„lsa,  (4)  o‘zaro  bir  qiymatli  akslantirish  (moslik) 

deyiladi. 

Masalan,  

. 

to„plamlar uchun ushbu  

. 

akslantirish o„zaro bir qiymatli akslantirish bo„ladi. 

6-ta’rif.

  akslantirish  o„zaro  bir  qiymatli  akslantirish  bo„lsin. 

 

to„plamning  har  bir  , 

  elementiga 

  to„plamning  bitta 

  elementini 

 mos qo„yadigan va  

. 

munosabat bilan aniqlanadigan 

 

akslantirish 

  ga  nisbatan  teskari  akslantirish  deyiladi  va 

  kabi 

belgilanadi:  

. 

Demak, 

 ga teskari akslantirish mavjud bo„lishi uchun: 

a)   ustiga akslantirish, 

b) 

 to„plamdan olingan har bir   elementning   to„plamdagi asli 

 

yagona bo„lishi kerak. 

 

3

0

. Ekvivalent to‘plamlar. Sanoqli to‘plamlar. 

 

Ko„p  holda  to„plamlarni  ularning  tashkil  etgan  elementlari  soni  bo„yicha 

o„zaro  solishtirishga  to„g„ri  keladi.  Chekli  to„plamlar  solishtirilganda  bir 

to„plamning  elementlari  soni  ikkinchisidan  ko„p,  yoki  kam,  yoki  ularning 

elementlarining soni bir-biriga teng degan hulosaga kelinadi. Bu holda elementlari 

soni ko„p bo„lgan to„plamni «quvvati» ko„proq deyish mumkin.  

Cheksiz  to„plamlarni  solishtirishda  vaziyat  boshqacharoq  bo„ladi.  Cheksiz 

to„plamlar ekvivalentlik tushunchasi yordamida solishtiriladi. 

7-ta’rif. Agar 

 o„zaro bir qiymatli akslantirish (moslik) bo„lsa,   

va 

ekvivalent to‘plamlar deyiladi va 

 kabi belgilanadi. 

Demak,   va 

 to„plamlarning ekvivalentligi  

  ularning elementlari 

o„zaro bir qiymatli moslikda ekanligini bildiradi. 

Masalan,  

 

to„plamlar uchun  



















...

,

3

1

,

2

1

,

1

...},

,

3

,

2

,

1

{

N

N

n

n

N

N

f

f

1

,

:







F

E

f



:

F

y

)

(

F

y



E

x

)

(

E

x



x

x

f

g

y

g





))

(

(

)

(

E

F

g



:

F

E

f



:

1



f

E

F

f





:

1

F

E

f



:

f

F

y

E

x

x

f

f

y

f









))

(

(

)

(

1

1

F

E

f



:

E

F

E

F

E

F

F

E ~

...}

,

8

,

6

,

4

,

2

{

},

...

,

4

,

3

,

2

,

1

{

1





N

N

 ,     

 

akslantirish o„zaro bir qiymatli. Binobarin,  

 

bo„ladi. (Bu holda 

 kabi yoziladi). 

Aytaylik 

 to„plamlar berilgan bo„lsin. Unda 

 

1)  

, 

 

2)  

, 

 

3)  

 

bo„ladi. Bu xossalarning isboti yuqorida keltirilgan ta‟rifdan kelib chiqadi. 

Ikki 

  va 

  to„plamlari  o„zaro  ekvivalent  bo„lsa,  ularni  bir  xil  quvvatli 

to„plamlar deb qaraladi. 

Demak,  quvvatni  ekvivalent  to„plamlarning  miqdoriy  xarakteristikasi 

sifatida tushunish mumkin. 

Chekli  to„plamlarning  o„zaro  ekvivalentligi  ularning  tashkil  etgan 

elementlarining sonini bir-biriga tengligini bildiradi. 

Umuman, 

  va 

  chekli  to„plamlarning  o„zaro  ekvivalent  bo„lishi  uchun 

ularning elementlari soni bir xil bo„lishi zarur va etarli: 

, 

bunda 

 to„plamning elementlari soni. 

8-ta’rif.    Natural  sonlar  to„plami 

  ga  ekvivalent    bo„lgan  har  qanday 

to„plam sanoqli to‘plam deyiladi. 

Masalan, ushbu 

 

 

 

to„plamlar sanoqli to„plamlar bo„ladi, chunki 

;   

; 

.   

Natural sonlar  to„plami   ga ekvivalent bo„lgan barcha to„plamlar sanoqli 

to„plamlar sinfini tashkil etadi. Bu sinf to„plamlarining quvvati bir xil bo„ladi. 

Ravshanki,  

 

bo„ladi. Ayni paytda, yuqorida ko„rdikki,  

. 

Bunday vaziyat (to„plamning qismi o„ziga ekvivalent bo„lishi) faqat cheksiz 

to„plamlardagina sodir bo„ladi. 

Matematik  analiz  kursida  tayin 

  va 

  to‘plamlar  uchun 

 

akslantirishlar  va ularning xossalari o‘rganiladi.  

n

n

f

2



)

2

,

(

1

N

n

N

n





1

~ N

N

n

n

2



D

B

A

,

,

A

A ~

A

B

B

A

~

~



D

A

D

B

B

A

~

~

,

~



A

B

A

B

   

B

n

A

n

B

A





~

 

G

G

n



N

...},

,

2

...,

,

8

,

6

,

4

,

2

{

1

n

N



,...},

,...,

64

,

27

,

8

,

1

{

3

2

n

N



,...}

1

,...,

3

1

,

2

1

,

1

{

3

n

N



1

~

,

2

N

N

n

n



2

3

~

,

N

N

n

n



3

~

,

1

N

N

n

n



N

N

N

N

N

N

N







3

2

1

,

,

3

2

1

~

,

~

,

~

N

N

N

N

N

N

E

F

F

E

f



:

Dastavval yuqoridagi to„plamlar sifatida haqiqiy sonlar to„plamini olamiz va 

uning xossalarini o„rganamiz. 

 

 

Mashqlar 

 

1.  Agar 

.  bo„lsa,  A  to„plamning 

  to„plamga 

akslantirishlari soni 9 ga teng bo„lishi isbotlansin. 

2.  Aytaylik,    sanoqli  to„plam  bo„lib, 

  bo„lsin.  U  holda   

 

bo„lishi isbotlansin. 

 

 

Adabiyotlar 

1. Xudayberganov G.,  Vorisov A. K.,  Mansurov X. T.,  Shoimqulov B. A. 

Matematik analizdan ma’rizalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.  

2. Fixtengols G. M.Kurs  differensialnogo  i  integralnogo  ischisleniya,  1  t.  M. 

«FIZMATLIT», 2001.  

3. Tao T.Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014. [49-61 betlar 

 

Nazorat savollari. 

1. Akslantirish nima? 

2.  To`plam  elementining  hamda  to`plamning  aksi  va  asli  deganda  nimani 

tushunasiz? 

3. Akslantirishlarning qanday turlari mavjud? 

4. O`zaro bir qiymatli akslantirish nima? 

5. Qanaday to`plamlar ekvivalent to`plamlar deyiladi? 

6. Sanoqli to`plam nima? 

Glossariy 

Akslantirish – Agar   to„plamdan olingan har bir   elementga biror   

qoida yoki qonunga ko„ra   to„plamning bitta   elementi 

 mos qo„yilgan 

bo„lsa,  to‘plamni  to‘plamga akslantirish berilgan deyiladi. 

To`plmning aksi – Agar 

 bo„lsa, ushbu  

 

to„plam  to‘plamning  dagi aksi deyiladi. 

To`plmning asli – Agar 

 bo„lsa, ushbu 

 

 











,

,

,

,





B

b

a

A

B

A

A

x



 

A

x

A

~



E

x

f

F

y





F

y



E

F

E

A







A

x

|

x

f



)

(

A

F

F

B



}

)

(

{

B

x

f

|

E

x





to„plam  to‘plamning dagiasli deyiladi. 

Ichiga akslantirish– Agar 

akslantirishda  

 

bo„lsa, bu akslantirish    to„plamni   to„plamning ichiga akslantirish deyiladi. 

Ustigaakslantirish (syur’ektiv akslantirish)–Agar 

akslantirishda 

 

bo„lsa, bu akslantirish E to„plamni   to„plamning ustigaakslantirish (syur’ektiv 

akslantirish) deyiladi. 

In’ektiv akslantirish  –  Agar 

ustiga  akslantirish  bo„lib,  bu  akslantirish 

  to„plamning  turli  elementlarini 

  to„plamning  turli  elementlariga  akslantirsa, 

uin’ektiv akslantirish deyiladi. 

O‘zaro  bir  qiymatli  akslantirish  (moslik)  –Agar 

ustiga  akslantirish 

bo„lib,  u  in‟ektiv  akslantirsh  ham  bo„lsa,  uo‘zaro  bir  qiymatli  akslantirish 

(moslik) deyiladi. 

Ekvivalent to‘plamlar – Agar 

 o„zaro bir qiymatli akslantirish (moslik) 

bo„lsa,   va  ekvivalent to‘plamlar deyiladi. 

Sanoqli  to‘plam–Natural  sonlar  to„plami 

  ga  ekvivalent  bo„lgan  har  qanday 

to„plam sanoqli to‘plam deyiladi 

Keys banki

 

 

2-keys.  Masala  o`rtaga  tashlanadi:  Aytaylik, 

A

  sanoqli  to„plam  bo„lib, 

A

x



 

bo„lsin. U holda  

 

A

x

A

~



 bo„lishi isbotlansin. 

Keysni bajarish bosqichlari va topshiriqlar: 



  keysdagi muammoni hal qilish mumkin bo`lgan asosiy formula, tushuncha 

va tasdiqlarni keltiring (individual va kichik guruhlarda); 



 

to`plangan ma‟lumotlardan foydalanib, qo`yilgan masalani yeching 

(individual). 

 

B

E

F

E

f



:

F

E

f



)

(

E

F

F

E

f



:

F

E

f



)

(

F

F

E

f



:

E

F

F

E

f



:

F

E

f



:

E

F

N