2-Ma’ruza. Skalyar maydonning sath chiziqlari va sirtlari, yoʻnalish boʻyicha hosila. Skalyar maydonning gradiyenti, yuksaklik chiziqlari va sirtlari

4. Skalyar maydon gradienti.
Ta’rif. differensiallanuvchi funksiya bilan berilgan skalyar maydonning nuqtadagi gradienti deb, bilan belgilanuvchi vektorga aytilib, uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari bajaradi, ya’ni
. (2)
Gradientning proeksiyalari nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘ladi va shu nuqtaning koordinatalari o‘zgarishi bilan o‘zgaradi. Binobarin, funksiya bilan berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lum bir vektor - shu funksiyaning gradienti mos qo‘yiladi.
Gradientning ta’rifidan foydalanib, yo‘nalish bo‘yicha hosilani ifodalovchi (2) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(3)
bu yerda yo‘nalishdagi birlik vektor. Demak, berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosila funksiya gradienti bilan shu yo‘nalishning birlik vektori ko‘paytmasiga teng. Skalyar ko‘paytma ta’rifidan foydalanib, (55) formulani

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda birlik vektor bilan gradient orasidagi burchak. bo‘lgani uchun
(4)
bo‘ladi. Bundan yo‘nalish bo‘yicha hosila bo‘lganda, ya’ni da eng katta qiymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat ga teng, ya’ni bu holda
(5)
Shunday qilib, kattalik hosilaning nuqtadagi mumkin bo‘lgan eng katta qiymati bo‘ladi, ning yo‘nalishi esa nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo‘nalishi bilan mos tushadiki, u bo‘ylab funksiya hammasidan ko‘ra tezroq o‘zgaradi, ya’ni gradientning yo‘nalishi funksiyaning eng tez ortishidagi yo‘nalishidir. Bu yuqorida keltirilgan gradientning koordinatalar sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o‘rniga endi boshqa koordinatalar sistemasini tanlashga bog‘liq bo‘lmagan invariant ta’rifni berishga imkon beradi.
Ta’rif. skalyar maydonning gradienti deb, bu maydon o‘zgarishining eng katta tezligini ifodalovchi vektorga aytiladi.
Agar bo‘lsa, u holda yo‘nalish bo‘yicha hosila ga teng eng kichik qiymat bo‘ladi. Bu yo‘nalishda (qarama-qarshi yo‘nalishda) funksiya hammasidan tezroq kamayadi.
Agar bo‘lsa, yo‘nalish bo‘yicha hosila nolga teng. Endi skalyar maydonning gradienti yo‘nalishi bilan sath sirtlari orasidagi bog‘lanishni o‘rganamiz.
funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yo‘nalishi shu nuqtadan o‘tuvchi skalyar maydonning sath tekisligiga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishi bilan mos tushishini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz. Bu nuqtadan o‘tuvchi sath sirti tenglamasi
(6)
ko‘rinishda yoziladi, bu yerda .
nuqtadan shu tekislikka o‘tkazilgan normalning tenglamasini tuzamiz:

Bundan,

proeksiyalarga ega bo‘lgan normalning yo‘naltiruvchi vektori funksiyaning nuqtadagi gradienti bo‘ladi.
Shunday qilib, har bir nuqtadagi gradient berilgan nuqtadan o‘tuvchi sath sirtiga o‘tkazilgan urinma tekislikka perpindikulyar bo‘ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. Demak berilgan nuqtadan o‘tuvchi sath sirtiga urinma bo‘lgan istalgan yo‘nalish bo‘yicha hosila nolga teng.
Funksiya gradientining ba’zi xossalarini ko‘rsatamiz:
. , bu yerda o‘zgarmas kattalik.



Bu xossalar funksiyaning hosilasini topish qoidalari bilan mos tushishi ravshan.