2-ma’ruza. Tekislikdagi to’plam o’lchovi

1-teorema. Ixtiyoriy ikki elementar to‘plamlarning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi ham elementar to‘plam bo‘ladi.

Boshqacha aytganda, elementar to‘plamlar to‘plami halqa tashkil qilar ekan.

Isboti. Ikki to‘g‘ri to‘rtburchakning kesishmasi yana to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lishi tushunarli. Aytaylik A va B to‘plamlar elementar to‘plamlar bo‘lsin.U holda

A = va B =

bo‘ladi. Bu yerdagi E_i va Q_j lar, chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar. Ularning kesishmasi

AV =

ham elementar to‘plam, chunki E_iQ_j larning har biri to‘g‘ri to‘rtburchak va ularning soni chekli.

Ikki to‘g‘ri to‘rtburchakning ayirmasi elementar to‘plam bo‘lishi ravshan. Shuning uchun, to‘g‘ri to‘rtburchakdan biror elementar to‘plamni ayirib, yana elementar to‘plam hosil qilamiz. Chunki bu jarayon, xuddi ikki elementar to‘plamning kesishmasi kabi qaralishi mumkin.

Aytaylik A va B ikki elementar to‘plam bo‘lsin. U holda ularning har ikkisini ham o‘z ichiga olgan E to‘g‘ri to‘rtburchak topiladi. Endi

AB = E \ [ (E \ A)  (E \ B) ]

tenglikka va yuqorida aytilganlarga ko‘ra A va B ning birlashmasi ham elementar to‘plam bo‘ladi. Bundan va

A \ B = A(E \ B), AB = (AB) \ (AB)

tengliklardan elementar to‘plamlar ayirmasi va simmetrik ayirmasi yana elementar to‘plam bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.

Endi, ixtiyoriy A elementar to‘plamning m’(A) o‘lchovini aniqlaymiz.

Agar

A =

bo‘lib, Ye_i lar o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklar bo‘lsa, u holda A ning o‘lchovi

m’(A) = m(E_i)

kabi aniqlanadi.

O‘lchovning bunday aniqlanishi, A to‘plamni chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar orqali qanday tasvirlanishiga bog’liq emas.

Haqiqatan, aytaylik A ikki xil yoyilmaga ega bo‘lsin:

A = = ,

bu yerda E_i va Q_j lar to‘g‘ri to‘rtburchaklar, hamda ik bo‘lganda E_iE_k= va ij bo‘lganda Q_iQ_j=.

Ma’lumki, ikki to‘g‘ri to‘rtburchakning kesishmasi E_iQ_j yana to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘ladi va A ning tasvirlanishiga ko‘ra

E_i=(E_iQ_j), Q_j= (E_iQ_j)

U holda, to‘g‘ri to‘rtburchak uchun o‘lchovning additivlik xossasiga ko‘ra

m(E_i) = m(E_iQ_j) = m(Q_j).
Xususan, to‘g‘ri to‘rtburchaklar uchun m’ o‘lchov berilgan m o‘lchov bilan ustma-ust tushadi.

Elementar to‘plamlar uchun shu usulda kiritilgan o‘lchov musbat va additiv ekanligini ko‘rish qiyin emas.

Elementar to‘plamlarda aniqlangan o‘lchovning ba’zi xossalarini ko‘rib chiqamiz.