20. Мураккаб функциянинг ҳосиласи

MAVZU. MURAKKAB FUNKSIYANING HOSILASI. TESKARI FUNKSIYANING HOSILASI. АSOSIY ELEMENTLAR FUNKSIYALARNING HOSILALARI.
2⁰. Мураккаб функциянинг ҳосиласи. Фараз қилайлик, функция тўпламда, функция тўпламда берилган бўлиб, нуқтада ҳосилага, нуқтада ҳосилага эга бўлсин. У ҳолда мураккаб функция нуқтада ҳосилага эга бўлиб,

бўлади.
◄ функциянинг нуқтада ҳосилага эга бўлганлигидан

бўлиши келиб чиқади, бунда
ва да .
Кейинги тенгликнинг ҳар икки томонини га бўлиб топамиз:
.
Бундан да лимитга ўтиб,

тенгликка келамиз. ►
3⁰. Тескари функциянинг ҳосиласи. Айтайлик, функция да берилган, узлуксиз ва қатъий ўсувчи (қатъий камаювчи) бўлиб, нуқтада ҳосилага эга бўлсин. У ҳолда функция нуқтада ҳосилага эга ва

бўлади.
◄Равшанки,

бўлиб, да бўлади. Бу тенгликдан


ифодага келамиз. Бундан эса

бўлиши келиб чиқади.
Кейинги тенгликда да лимитга ўтиб топамиз:
►


4⁰. Мисоллар. 1-мисол. бўлади, , .
◄ Айтайлик, бўлсин. Унда функция учун

бўлиб, да бўлади. ►
2-мисол. бўлади, , .
◄ функция учун

бўлиб, да бўлади. ►
3-мисол. , бўлади, .
◄  функция учун

бўлиб, да бўлади. Худди шунга ўхшаш бўлиши топилади►
4-мисол. бўлади, , ,  .
◄ функция учун

бўлиб, да

бўлади. Хусусан, бўлади. ►
5-мисол. бўлади.
◄Тескари функция ҳосиласини ҳисоблаш формуласига асосан

бўлади.
Худди шунга ўхшаш,



бўлади.►
6-мисол. Фараз қилайлик,

бўлиб, ва лар мавжуд бўлсин. У ҳолда

бўлади.
◄ Ушбу ни логарифмлаб,
,
сўнг мураккаб функциянинг ҳосиласини ҳисоблаш қоидасидан фойдаланиб топамиз:


►
Бу,
(3)
тенгликдан, функция ҳосиласини ҳисоблашнинг қуйидаги қоидаси келиб чиқади: функциянинг ҳосиласи икки қўшилувчидан иборат бўлиб, биринчи қўшилувчи ни кўрсаткичли функция деб олинган ҳосиласига (бунда асос ўзгармас деб қаралади) иккинчи қўшилувчи эса ни даражали функция деб олинган ҳосиласига (бунда даража кўрсаткич ўзгармас деб қаралади) тенг бўлади.


7-мисол. Ушбу
,
функцияларнинг ҳосилалари топилсин.
◄ (3) формуладан фойдаланиб топамиз:



►
5⁰. Ҳосилалар жадвали. Қуйида содда функцияларнинг ҳосилаларини ифодаловчи формулаларни келтирамиз:

1. 
   
   

2.

3.

4.



5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.


Машқлар

1. Айтайлик, функция да берилган ва ҳосилага эга бўлсин. Агар жуфт функция бўлса, ҳам жуфт функция бўлиши исботлансин.

2. функция да берилган бўлиб, ҳосилага эга бўлсин. Қандай нуқталарда функция ҳосилага эга бўлади?
3. Ушбу

мураккаб функция ҳосиласини ҳисоблаш қоидаси топилсин.