22-мавзу: биринчи даражали бир номаълумли танқосламаларнинг эчимлари сони ҳАҚидаги теорема. 1-таъриф

26-МАВЗУ: ТАҚҚОСЛАМАЛАР ЕЧИМИ. БИР ЎЗГАРУВЧИЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАРНИНГ ТЕНГ КУЧЛИЛИГИ.
ТАЪРИФ: Берилган модул бўйича иккита таққосламанинг ҳар бирини ечими иккинчисининг ҳам ечими бўлса, уларни тенг кучли таққосламалар дейилади.
Қуйидаги алмаштиришларни таққосламалар устида элементар алмаштиришлар деб аталади.
α) Берилган таққосламани ҳар иккала томонини нолдан фарқли к сонга кўпайтириш;
β) Берилган таққосламанинг бир томонидан бошқа томонга ҳадни ўтказиш;
γ) Таққосламанинг ҳар иккала томонига 0≡0(mod m) таққосламани қўшиш ёки айириб ташлаш.
1-ТЕОРЕМА. ax≡b (mod m) (1) таққослама устида (α), (β) ва (γ) алмаштиришлар натижасида (1) таққосламага тенг кучли таққослама ҳосил бўлади.
ИСБОТ. Айтайлик (1) таққослама берилган бўлиб, ундан k≠0 kax≡kb(mod m) (2) ҳосил қилинган бўлсин. Шу билан бирга x=αZ (1) нинг ечими бўлсин, у ҳолда аα≡b (mod m) бўлади. Бундан ka≡kb(mod m) бу эса (α)ни (2)нинг ҳам ечими эканлигини тасдиқлайди. Шундай қилиб (1) нинг ечими (2) нинг ҳам ечими экан.
Энди айтайлик х=α (2) нинг ечими бўлсин. У ҳолда kaα ≡kb(mod m) бўлади. Охиридан aα ≡b(mod m) келиб чиқади. Демак х=α (1) нинг ҳам ечими экан. Шундай қилиб (α) алмаштириш натижасида тенг кучли таққосламалар ҳосил бўлар экан.
Айтайлик ax≡b+с (mod m) (3)
таққослама берилган бўлсин. У ҳолда ах–с≡b (mod m) (4) таққосламани тузамиз, яъни (β) алмаштириш бажарамиз. Натижада (3) ва (4) таққосламалар тенг кучли бўлади.
ИСБОТ. Айтайлик х=α (3) нинг ечими бўлсин. У ҳолда аα≡b+с(modm) бўлади. Бундан сонли таққосламанинг хоссасига асосан аα–с≡b(modm) келиб чиқади. Бу эса х=α (4) нинг ҳам ечими эканлиги келиб чиқади, яъни (3) (4).
Айтайлик, аксинча х=α (4) нинг ечими бўлсин, яъни аα–с≡b(modm) бўлсин. Охиргидан сонли таққосламанинг хоссасига асосан аα≡b+с(modm) бўлади. Бундан х=α (3) нинг ҳам ечими эканлиги келиб чиқади, яъни (4)(3). Шундай қилиб (β) алмаштириш натижасида (3) ва (4) таққосламалар тенг кучли бўлар экан.
(γ) алмаштириш тривиал алмаштириш бўлгани учун берилган таққосламаларни тенг кучли бўлиши тривиал эканлигини кўрсатиш қийин эмас.
Масалан 3х≡1 (mod 4) таққослама 6х≡2 (mod 4) таққосламага тенг кучли.
3х≡1 (mod 4)  3х≡9 (mod 4)  х≡3 (mod 4) бўлиб
бўлгани учун х≡3 (mod 4) 6х≡2 (mod 4) нинг ҳам ечими бўлади.