25.1-teorema. Istalgan sondagi qavariq to‘plamlarning kesishmasi yana qavariq to‘plamdir.
Isbot. Faraz qilaylik,
bo‘lib, barcha lar qavariq to‘plamlar bo‘lsin, va lar ning ikkita ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsin. U holda va nuqtalarni tutashtiruvchi kesma larning har biriga qarashli va demak ga ham qarashli. Shunday qilib, haqiqatan ham qavariq to‘plam ekan. ∆
Eslatma. Qavariq jismlarning kesishmasi yana qavariq jism bo‘lavermaydi. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin.
3. Tekislikdagi va qavariq jismlarning kesishmasi
kesmadan iborat bo‘lib, u qavariq jism emas (2-misolga qarang).
25.2. Qavariq funksionallar
Qavariq to‘plam tushunchasi qavariq funksional tushunchasi bilan uzviy bog‘langan.
25.4-ta'rif. Agar haqiqiy chiziqli fazoda aniqlangan manfiymas funksional
1) ,
2)
shartlarni qanoatlantirsa, ga qavariq funksional deyiladi.
Biz bu yerda miqdorni chekli deb faraz qilmaymiz, ya'ni ayrim lar uchun ham bo‘lishi mumkin. Agar barcha lar uchun chekli bo‘lsa, chekli funksional deyiladi.
Misollar. 4. va
akslantirishning chekli qavariq funksional ekanligini isbotlang.
Yechish. Integralning monotonlik xossasidan, ixtiyoriy uchun ekanligi kelib chiqadi. Endi bizga fazoning ixtiyoriy va elementlari berilgan bo‘lsin. U holda
tengsizlik o‘rinli. Xuddi shunday ixtiyoriy va uchun
tenglik o‘rinli. Demak, qavariq funksional ekan. Uning chekli qavariq funksional ekanligi tengsizlikdan kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
