25-mavzu: Nochiziqli dinamik ob’ektni identifikatsiyalash xususiyatlari. Chiziqli modellardan foydalanib nochiziqli ob’ektni identifikatsiyalash

X_k  ^ n_k (2.19)
bu yerda
^ a₁...a_m , (2.20)


^ u_1,k...a_mk, (2.21)
Parametrlar vektorini bahosini topish uchun r aˆ baho Jr kriteriyani min lashtirish kerak, ya‘ni

J_r = _k (Xk - _r^T _k )² (2.22)

bu yerda r o’lchanadigan sonni anglatadi bu yerda _r baholanish

= 0 (2.23)
Tenglamani qanoatlashtirishi kerak. Shunday qilib

(2.24)
Faqatgina r m da matritsa pr^-1 matritsaga aylantiriladi. Bu yerda p u ning o’lchami r ko’rilayotgan o’lchamlar soni

(2.25)
(2.25) chi formula quyidagi ko’rinishga keladi

(2.26)

B u yerda

(2.27)

O xirgi tenglama chiziqli regressiya yordamida oddiy vektor bahosini ko’rsatadi, regression baholanish bilan tо’g’ri keladigan u_ku_k^T oldindan aniq bo’ladi, matritsa P_r^-1 (2.25) formuladan kelib chiqmagan k yig‗indi bo’lgani uchun. (2.26) formula kо’rinishda yozilishi mumkin:
 (2.28)

( 2.24) chi tenglamadan qo’yidagi kelib chiqadi.

 (2.29)

(2.29) ni (2.88) ga qo’yib

(2.30)
(2.30) ni o’ng tarafini [q_ru_ru_r^T _r-1] ayirib qo’shsak qo’yidagini hosil qilamiz.

(2.25) chidan P_r-1 aniqlash (2.31) tenglama qo’yidagi ko’rinishga keladi:

(2.32)

(2.32) dan
(2.33)


r baholanish undan oldingi _r-1baholanishdan rekurent olingan bo’lishi mumkin. x_r,u_r,q_r koeffitsiyent o’lchami va og’irligi shartida, P_r matritsa kenglikdan olingan.
Endi (2.25) hisobga olib quyidagini keltirib chiqaramiz:
T
1
bu yerda (1+H_r^TP_r-1H_r)^-1 - skalyar kattaik.
P_r ko’rinishni olish uchun (2.35) tenglama rekurent matritsani aylantirish shart emas. (2.25) bilan (2.34) tenglamalarni ko’rib chiqamiz.

(2.36)

Kichik kvadratlar usuli bo’yicha (2.24) ekvivalentligini hisobga olib va regression pratsedura (2.24) ga asoslangan a vektorning baholanishiga olib keladi:
P₀^-1=1 (2.37)
(2.37) ni (2.34) ga qo’yib, a_n baholanadigan ahamiyatini tapamiz, bu (2.33) formuladan olingan r m (ma ning o’lchami) bo’lganda kichik kvadratlar usulini baholanishi bilan mos keladi.
₀  (2.38)
Boshlang’ich baholanish

(2.39)

(2.38) formula boshlang’ich parametrlarni baholashga olib keladi. n ta qadamga to’g‗ri keladigan kichik kvadratlar ma‘nosida.
Y uqorida aytilganidek, Veyershtrass teoremasiga muvofiq x argumentning istalgan uzluksiz nochiziqli f[x(t)] fuknsiyasi f[x(t)] dagi x ko’phad bilan approksimatsiyalanishi mumkin. Eng kichik kvadratlar usuli orqali

(2.40)
ko’rinishdagi x ko’phadning parametrlari qanday identifikatsiyalanishi ko’rsatib o’tilgan. Bunda quyidagiga ega bo’lamiz:

(2.41)
bu yerda

(2.42)

v a

(2.43)
Shu tarzda, a vektorni identifikatsiyalashni (2.41) chiziqli regressiya tenglamasidagi a parametrlarni identifikatsiyalash masalasiga olib kelamiz. Natijada, eng kichik o’rtacha kvadratik xatolikka mos keluvchi nochiziqli tizim parametrlarining ketma-ket bahosini olamiz.

Ketma-ket nochiziqli regressiyalashda matritsaga murojaat qilish protseduralaridan foydalanmaymiz, ammo ularni nochiziqli regressiya yordamida identifikatsiyalashda uchratishimiz mumkin. Bunda, nochiziqli tizim matritsasining noqulay bog‗langanligi bilan bog‗liq murakkabliklarni yengib o’tishga to’gri keladi. Bu holda, ekvivalent chiziqli tizimlarga nisbatan, biz murojaat qilishimiz lozim bo’lgan matritsaning o’lchamligi yanada kattaroq bo’ladi. Masalan, uchinchi tartibli approksimatsiyalangan ko’phadlarning ikki kirish ta‘sirlariga (2.40) ga jarayonlari uchun olti o’lchamli kirish vektorini qarashga to`Fri keladi. Bu holda, ketma-ket bo’lmagan regressiyadan foydalanilsa, chiziqli holdagi 22 o’lchamlikdagi matritsadan farqli ravishda, 66 o’lchamlikdagi matritsaga murojjat qilish talab qilingan bo’lar edi. Bu ketma-ket regressiyaning hattoki, kata bo’lmagan o’lchamlikdagi nochiziqli tizimlar uchun ham samarali ekanligini yaqqol ko’rsatib beradi.