3-4-ma’ruza Mavzu: Ajralgan yadroli Fredgolm II tur integral tenglamalarini ychish usullari

3-4-ma’ruza
Mavzu: Ajralgan yadroli Fredgolm II tur integral tenglamalarini ychish usullari
Biz bu mavzuda Fredgolm II tur integral tenglamalarni yechishning turli usullarini qaraymiz.
1.Ajralgan yadroli Fredgolm II tur integral tenglamasini bir argumentli funksiya uchun yechish.
2.Ajralgan yadroli Fredgolm II tur integral tenglamasini ikki argumentli funksiya uchun yechish.
3.Koeffitsientlarni tenglash usuli.
Bu mavzuda Fredgolm tenglamasining xususiy bir holini ko’ramiz. Faraz qilaylik, Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi

berilgan. Agar bu tenglamada ishtirok etayotgan yadroni ushbu

ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, bunday yadro aynigan (ajralgan) yadro deb ataladi. Bu holda (1) integral tenglamani chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechish mumkin.
Qisqaroq yoritib berish maqsadida n=3 deb olaylik.U holda (2) ifodani (1) tenlamaga qo’yib,

tenglamani hosil qilamiz, uni esa quyidagicha yozish mumkin:

O’ng tomondagi aniq integrallar o’zgarmas sonlardan iborat bo’lib, ularni quyidagicha belgilab olamiz:

Bu integrallardagi funksiya noma’lum bo’lgani sababli va lar ham noma’lum sonlar bo’lib, ularni toppish talab qilinadi.Shu maqsad bilan (4) ni (3) ga qo’yamiz:

Mana shu ifoda bilan (4) tenglamalarning birinchisini o’zgartiramiz:



O’ng tomondagi aniq integrallar o’zgarmas sonlar bo’ladi, ularni quyidagicha belgilab olamiz:


U holda (6) tenglik

ko’rinishga keladi. Bundagi noma’lum sonlarni o’z ichiga oluvchi hadlarni tenglik ishorasining bir tomoniga o’tkazsak,

uch noma’lum chiziqli algebraik tenglama hosil bo’ladi.
Mana shunga o’xshash yana ikkita algebraik tenglamani keltirib chiqarish uchun (4) tenglamalarning ikkinchi va uchinchisiga murojaat qilamiz:


Bundagi integrallarni quyidagicha belgilaylik:


U holda

yoki

hosil bo’ladi.
Xuddi shuningdek, (4) dan:

Buni ham yuqoridagilar kabi o’zgartirsak ushbu

natija hosil bo’ladi. Bunda


Shuunday qilib, biz larga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qildik:

Bu sistemadagi lar va lar ma’lum sonlardir, chunki ularga mos integrallar ishorasi orasidagi funksiyalar masalada berilgan bo’ladi.
Endi (7) sistemani oliy algebradagi Kramer formulalari yordamida yechamiz:

Bu formulalarda

Ma’lumki, ni topish uchun (9) determinantda birinchi uctun elementlari o’rniga (7) dagi ozod hadlarni qo’yish kerak. va lar ham shu usulda topiladi. Shuni ham ta’kidlab o’tishimiz zarurki, (7) sistemadagi va larning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda, (9) determinantning noldan farqli bo’lishi shart.
Demak, parametrning D determinantni nolga aylantirmaydigan hamma qiymatlari uchun (2) ko’rinishdagi yadroli Fredgolm tenglamalarini shu usulda yechish mumkin ekan.Shubhasiz, bu masalada ishtirok etayotgan barcha integrallar mavjud deb faraz qilinadi.
1-misol.Ushbu tenglama yechilsin:

Bu misoldagi parameter umumiy holda berilgan bo’lib yadro yuqoridagi (2) ko’rinishda ifodalangan. Tenglamaning o’ng tomonidagi integralni ikkiga ajratib,

so’ngra quyidagicha

belgilaymiz. U holda berilga integral tenglama

ko’rinishda yoziladi. Noma’lum funksiyaning mana shu ifodasidan foydalanib, bilan ni hisoblaymiz:


yoki

Xuddi shuningdek,

yoki

Shunday qilib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

Bu sistemaning yechimini Kramer formulalariga asosan yozamiz:

bu yerda


Demak,

Bularni izlanayotgan noma’lum funksiyaning yuqoridagi ifodasiga qo’yib, uni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

Bu esa berilgan masalaning yechimidir.Yechim ifodasidagi kasrlarning maxraji nolga teng bo’lmasligi uchun λ parametr

kvadrat tenglamaning ildizi bo’lmasligi shart, ya’ni
Xususiy holda deb faraz qilsak, yechim quyidagicha yoziladi:

2-misol.Ushbu tenglama yechilsin:

Ma’lumki,

demak, tenglamani


ko’rinishda yozish mumkin, bunda

Bu integrallarda o’rniga uning yuqorida olingan ifodasini qo’yamiz:


Integrallarning qiymatlari

bo’lgani uchun birinchi tenglama

bo’ladi. Bu yerda

Xuddi shu usulda ni izlaymiz:



bo’lgani uchun

bu yerda

Demak,

Izlanayotgan yechim:

Bu ifodadagi kasrlarning maxrajlari nolga aylanmasligi uchun bo’lishi kerak. Xususiy holda, agar deb olsak,

bo’lib, yechim uchun quyidagi ifoda hosil bo’ladi:

Mashqlar
Yuqorida bayon qilingan usul bilan quyidagi Fredgolm tenglamalari yechilsin:

1. 
   
   

Yechish.

2.