3. Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasi chegara shartlari

Issiqlik oʻtkazuvchanlik - biror muhitda uning turli qismlaridagi temperaturaning muvozanat qiymatidan chetlashishi natijasida issiqlik oqimining vujudga kelishi hodisasi. I. oʻ. issiqlik oqimi zichligi bilan uni vujudga keltirgan moddadagi temperatura gradiyenti orasidagi proporsionallik koeffitsiyenti — I. oʻ. koeffitsiyenti % bilan ifodalanadi. Har xil jism is-siqlikni turlicha oʻtkazadi. Masalan, qat-tiq yoki suyuq jismlarning I. oʻ. xossasi gaznikidan yuqori. Kumush eng katta I.oʻ.gaega: x=428J/m-strad). Qat-tiqjismning I. oʻ. i uning tuzilishiga bogʻliq. Gʻovak jismlarniki kichik (chunki gʻovaklarni toʻldiruvchi gazning Issiqlikni jismning zarralari (zarralar tebranishi tufayli issiqlikni biridan ikkinchisiga uzatadi), shu sababli metallarning I. oʻ. koʻrsatkichi katta boʻladi. 
Jismning ixtiyoriy kesimi orqali, tanlangan oʻqqa normal holda Fure qonuni
(1820 y) bilan ifodalanuvchi issiqlik uzatishlari sodir boʻladi:
∆Q=-Ň (dT/dX)F∆t.
Bu yerda: ∆Q - ∆t vaqt ichida F kesimli yuza orqali oʻtuvchi issiqlik miqdori, Ň - modda xossalariga bogʻliq boʻlgan issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffitsiyenti.

Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasi. Chegara shartlari

Izotermik sirt dF dan d vaqt ichida o‘tayotgan issiqlik miqdorini aniqlash uchun (5) tenglamani F va  bo‘yicha integrallash lozim, ya’ni jism ichidagi temperatura maydonini bilish kerak. Bu masalani yechish uchun issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasi keltirib chiqariladi.

Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasiga
doir. Dekart (a) va Silindrik (b) koordinatalarda


Tenglamani keltirib chiqarishda quyidagi shartlar qabul qilinadi: jism bir jinsli va izotrop; uning fizik parametrlari o‘zgarmas. Energiyaning saqlanish qonuniga asosan, jismning elementar hajmiga  vaqt ichida tashqaridan issiqlik o‘tkazuvchanlik yo‘li bilan keltirilgan dQ₁ issiqlik miqdori va ichki issiqlik manbai tomonidan ajralib chiqayotgan issiqlik miqdori dQ₂ yig‘indisi jismning ichki energiyasining o‘zgarishiga teng bo‘lishi kerak dQ=dU:

dQ₁+dQ₂=dQ

Bu tenglama hadlarini Dekart koordinata tizimida aniqlash uchun jismda tomonlari dx, dy, va dz bo‘lgan parallelepiped ajratib olamiz (2-rasm).
Bu yerda dQ_x, dQ_y, dQ_z – olib keltirilayotgan issiqlik. dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz – olib ketilayotgan issiqlik. U holda dydz qirra uchun Fure qonuniga (5) asosan:

Bu kattaliklar farqi parallelepipedda qolayotgan issiqlik miqdorini beradi:

Xuddi shunday bog‘lanishni qolgan ikki qirra uchun keltirib chiqarish mumkin. U holda jismga keltirilgan va unda qolgan umumiy issiqlik miqdori quyidagiga teng bo‘ladi:

Agar ichki issiqlik manbaining solishtirma issiqlik unumdorligini q_v(J/m³) orqali belgilasak:

dQ₂=q_v dxdydzd bo‘ladi.

d vaqt ichida jismning ichki energiyasining o‘zgarishi

dQ₁, dQ₂ va dQ larni (9) tenglamaga qo‘yib, ba’zi o‘zgartirishlardan so‘ng quyidagini hosil qilamiz:

yoki

bu yerda - temperatura o‘tkazuvchanlik koeffitsienti;
- Laplas operatori.
U holda, issiqlik o‘tkazuvchanlik differentsial tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:

Silindrik koordinatalar tizimida , b) (11) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

bu yerda r – radius vektor;  - burchak.

Statsionar holat uchun t/=0, u holda (11) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Ichki issiqlik manbai bo‘lmasa:

Statsionar holatda ²t=0

Nostatsionar holatda t/=a²t

tenglamalar, issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayoni ro‘y berayotgan jismning istalgan nuqtasidagi temperaturaning vaqt va fazoviy o‘zgarishlari orasidagi bog‘lanishni belgilaydi. Issiqlik o‘tkazuvchanlikni differentsial tenglamasi (Fure tenglamasi) issiqlik o‘tkazuvchanlik usuli bilan issiqlik uzatilishini eng umumiy holda yoritadi.

Bu tenglamani aniq bir hollar uchun qo‘llashda, vaqtning boshlang‘ich paytida jismda temperaturaning taqsimlanishini va boshlang‘ich shartlarni bilish zarur.
Bundan tashqari quyidagilar ma’lum bo‘lishi kerak: jismning geometrik shakli va o‘lchami, muhit va jismning fizik parametrlari, jism sirtida temperaturaning taqsimlanishini belgilovchi chegara shartlari. Yuqoridagi barcha xususiyatlar differentsial tenglama bilan birgalikda aniq bir issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayonlarini to‘liq yoritadi va bir xillilik shartlari yoki chegara shartlari deb aytiladi. Odatda, temperaturaning boshlang‘ich taqsimoti =0 vaqt uchun beriladi.
Chegara shartlari uch xil usulda berilishi mumkin. Chegara shartlarining birinchi turida temperaturaning jism sirtida taqsimoti vaqtning istalgan har qanday payti uchun beriladi. Chegara shartlarining ikkinchi turida vaqtning har qanday istalgan payti uchun jism sirtidagi har qaysi nuqtada issiqlik oqimining zichligi beriladi.
Chegara shartlarining uchinchi turida jismni o‘rab turgan muhit temperaturasi va jism sirti bilan atrof muhit o‘rtasidagi issiqlik berish qonuniyatlari beriladi.
Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasini bir xillilik shartlari asosida yechish, jismni butun hajmi bo‘yicha vaqtning istalgan paytida temperatura maydonini aniqlash imkonini beradi.