3-ma’ruza binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati

3-MA’RUZA


BINAR MUNOSABATLAR. EKVIVALENTLIK MUNOSABATI

Bizga ixtiyoriy va to’plamlar berilgan bo’lsin. Bu to’plamlar elementlarida tartiblangan juftlik elementlarni tuzamiz va bu elementlar teng deb hisoblaymiz, agar

tenglikdan tengligi kelib chiqsa va aksincha.
va to’plamlarning dekart ko’paytmasi deb hamma tartiblangan juftliklar

to’plamiga aytiladi.
Agar, masalan, bo’lsa, dekart kvadrat tekisligidagi hamma nuqtalar to’plamidan iboratdir.
Xuddi shunday bir nechta to’plamlarni dekart ko’paytmasini, qarashimiz mumkin. Agar bo’lsa, u holda ularning dekart ko’paytmasini qisqacha shaklda yozish mumkin va uni darajali dekart ko’paytma deb yuritish mumkin. ning elementlar uzunligi ga teng bo’lgan satrli elementdan iborat bo’ladi.
to’plamning ixtiyoriy qism to’plami to’plamda binar munosabat deyiladi. Agar bo’lsa, u holda element element bilan binar munosabatda deyiladi va kabi yoziladi.
Misol. 1. da tenglik munosabati tekislikdagi to’g’ri chiziq nuqtalari bilan beriladi va aksincha tengmaslik munosabati da to’g’ri chiziqda yotmagan barcha nuqtalar to’plamidan iborat bo’ladi.
to’plamda biror munosabat berilgan bo’lsin.
Ta’rif 3.1. to’plamdagi munosabat to’plamda ekvivalentlik munosabati deyiladi, agar
1. uchun munosabat o’rinli (refleksiv);
2. munosabatdan munosabatning o’rinliligi (simmetrik);
3. va munosabatlardan munosabat o’rinli (tranzitivlik) bo’lsa, to’plamda berilgan ekvivalentlik munosabati to’plamning va elementlari orasida ekvivalentlik munosabati qisqacha shaklda yoziladi.
Masalan, haqiqiy sonlarning yoki to’plamlarning tenglik munosabatlari ekvivalentlik munosabatlari bo’ladi.
Bizga to’plam va unda biyektiv almashtirishlar (akslantirishlar) to’plami berilgan bo’lsin. U holda uchun tenglikni qanoatlantiruvchi mavjud bo’lib,
1) , chunki ;
2) Agar bo’lsa, dan hosil bo’ladi va demak ;
3) Agar , bo’lsa, u holda bo’lib, bo’ladi va bulardan kelib chiqadi va demak .
Shunday qilib, dir va bu ekvivalentlikka ekvivalentlik deb ataladi.
to’plamda ekvivalentlik munosabati bu to’plamni kesishmaydigan qism to’plamlar sinflariga bo’lib chiqadi, ya’ni
, uchun ekvivalentlik munosabati bu to’plamda quyidagicha kiritiladi. Agar elementlar bo’linmadagi bir sinfga tegishli bo’lsa, ularni bo’linmaga nisbatan ekvivalent deymiz, va shaklda yozamiz.
Masalan, to’plamda hamma toq sonlar va hamma juft sonlar to’plami to’plamni ikkita sinfga ajratadi va bo’lib, o’rinlidir.
Osonlik bilan ko’rsatish mumkinki, bu ekvivalentlik munosabati bo’lib, uning uchun refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalari o’rinli bo’ladi.
to’plamda biror “ ” ekvivalentlik munoslanabati berilgan bo’lsin. elementga ekvivalent bo’lgan barcha elementlar qism to’plami

belgilab olamiz. Bu qism to’plamga elementga nisbatan ekvivalentlik sinfi deb ataladi. Shuni ta’kidlaymizki, hamma sonlarning yig’indisi to’plamdan iboratdir, ya’ni va yuqoridagi mulohazalarga asosan bu sinflar kesishmaydi.
Shunday qilib, to’plamlar sinfiga ekvivalentlik munosabati o’rnatish mumkin bo’lib va aksincha ekvivalentlik munosabati to’plamni to’plamlar sinfiga ajratadi va ular orasida o’zaro bir qiymatli bog’lanish hamma vaqt o’rinlidir.
to’plam biror-bir ekvivalentlik munosabati yordamida sinflarga ajratilgan bo’lsin. Bu sinflarning o’zidan to’plam tuzamiz, ya’ni bu to’plamning elementlari sinflardan iborat bo’ladi. Hosil bo’lgan to’plamga to’plamning ekvivalentlik munosabati deyiladi va ko’rinishda yoziladi, ya’ni bu to’plam hamma , sinflar to’plamidir. Osonlik bilan ko’rsatish mumkinki, akslantirish syuryektiv akslantirish bo’lib, inyektiv bo’lmaydi (ko’rsating).
to’plamda biror ekvivalentlik munosabat berilgan bo’lib, biror bir to’plam bo’lsin. U holda akslantirish uchun , munosabatdan o’rinli bo’lsa, bunday akslantirishga invariant deyiladi, ya’ni bunday akslantirish invariantlikni da saqlaydi.
bo’lib, biyektiv almashtirishlar to’plami bo’lsin. Agar har qanday va uchun tenglik o’rinli bo’lsa, bunday akslantirish biyektiv almashtirishlari ta’sirida saqlanuvchi -invariat yoki -invariant deyiladi.
-invariant akslantirishlar matematikada va fanning turli sohalarida ko’p uchraydi. Masalan, yopiq fizik sistemaning energiyasi yopiq fizik sistemaning barcha fizik o’zgarishlariga (almashtirishlariga) nisbatan saqlanadigan kattalikdir (Energiyaning saqlanish qonuni). Mexanik sistemaning massasi mexanik harakatlarda saqlanadi.