1-lemma. Tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi 𝔖 yarim
halqa tashkil qiladi.
Isbot. va sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lganda bo‘sh to‘plamni aniqlaydi, demak ∅ 𝔖 Ikki to‘g‘ri to‘rtburchakning kesishmasi to‘g‘ri to‘rtburchakdir (1-chizma), ya’ni 𝔖 dan 𝔖 ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik to‘g‘ri to‘rtburchak to‘g‘ri to‘rtburchakni o‘zida saqlasin. U holda
munosabatlar o‘rinli. ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin.
bu yerda (2-chizmaga qarang)
Demak, tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi 𝔖 yarim halqa
tashkil qilar ekan.
1-chizma 2-chizma
1-ta’rif. 𝔖 yarim halqadan olingan va sonlari bilan aniqlangan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) to‘g‘ri to‘rtburchak uchun sonni mos qo‘yamiz, agar bo‘sh to‘plam bo‘lsa deymiz va :𝔖→ℝ to‘plam funksiyasini o‘lchov deymiz.
Shunday qilib, 𝔖 dagi har bir to‘g‘ri to‘rtburchakka uning o‘lchovi son mos qo‘yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1) - manfiy bo‘lmagan haqiqiy son.
2) :𝔖→ℝ to‘plam funksiyasi additiv, ya’ni agar
𝔖
bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli .
3-chizma 4-chizma
Maqsadimiz 1) va 2) xossalarni saqlagan holda o‘lchovni barcha to‘g‘ri
to‘rtburchaklar sistemasi 𝔖 dan kengroq bo‘lgan sinfga davom ettirishdan iborat. Shu maqsadda bilan 𝔖 yarim halqa ustiga qurilgan minimal halqani belgilaymiz.
Teorema. Agar 𝔖 yarim halqa bo’lsa, u holda minimal halqa to’plamlar bo’yicha chekli yoyilmaga ega bo’lgan to’plamlarning sistemasi bilan ustma –ust tushadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
