3. Nochiziqli va parametrik elementlar. Nochiziqli zanjirlarda tebranishlarni spektral analiz usullari

Karrali argumentli trigonometrik funksiyalardan foydalanish usuli. NochiziqlielementningVAXsi uchinchi darajali polinom bilan approksimatsiyalangan bo‘lsin:

i=a₀+a₁u+a₂u²+a₃u³. (3.17)

Uning kirishiga bitta garmonik tebranish ta’sir etsin,

(3.18)

(3.17) ni (3.18) ifodaga qo‘yib, hamda

cos²α=0,5(1+cos2α)

cos³α=3/4 cosα+1/4 cos3α (3.19)

trigonometrik formulalardan foydalanib, Nochiziqli elementdan o‘tayotgan tok spektral tashkil etuvchilarini quyidagi yig‘indi shaklida ifodalaymiz







.(3.20)

Ushbu tok chastotali tashkil etuvchidan tashqari, tok doimiy tashkil etuvchisi (), ikkinchi garmonika () va uchinchi garmonika ()tashkil etuvchilardan iborat. Bu tashkil etuvchilar quyidagi qiymatlarga ega:







(3.21)

Bunda tokning doimiy tashkil etuvchisi va juft garmonikalari approksimatsiyalovchi polinomning juft darajali tashkil etuvchilari va toq garmonikalari toq darajali tashkil etuvchilari hisobiga paydo bo‘ladi, shu bilan birga aniqlanadigan tokning eng yuqori garmonikasi approksimatsiyalovchi polinom darajasiga teng bo‘ladi. Aniqlanadigan garmonika soni oshgan sari uni qiymati avvalgilariga nisbatan kamayib boradi. 3.8-rasmda aniqlangan tok spektral tashkil etuvchilari keltirilgan.

3.8-rasm. Chiqish toki spektral tashkil etuvchilari

VAXsi uchinchi darajali polinom (4.4) bilan ifodalangan nochiziqli element kirishiga ikkita tebranish ta’sir etgan holatni ko‘rib chiqamiz. Bunda

u₁(t)=U₁cos(ω₁t+φ₁)va u₂(t)=U₂cos(ω₂t+φ₂); (3.22)

va ularning chastotasi ω₂>ω₁ bo‘lsin.

(3.22) ni (3.17) ifodaga qo‘yamiz va nochiziqli elementdan o‘tayotgan tok qiymatlarini aniqlaymiz:

i=a₀+a₁U₁cos(ω₁t+φ₁)+a₁U₂cos(ω₂t+φ₂)+a₂[U₁cos(ω₁t+φ₁)+

+U₂cos(ω₂t+φ₂)]²+a₃[U₁cos(ω₁t+φ₁)+U₂cos(ω₂t+φ₂)]³. (3.23)
(a+b)²,(a+b)³ ni yoyish va

cosα∙cosβ=0,5cos(α+β)+0,5cos(α−β);

cosα∙cos²β=0,5cosα+0,25cos(2α+β)+0,25cos(2α−β);

cos²α∙cosβ=0,5cosβ+0,25cos(α+2β)+0,25cos(α−2β)

trigonometrik formulalardan foydalanib (3.23) ni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz





















(3.24)

(3.24) ifodadagi nochiziqli element orqali o‘tgan tok spektral tashkil etuvchilari spektrini chizamiz (3.9-rasm).

3.9-rasm. Nochiziqli elementga ω₁ va ω₂ chastotali tebranishlar ta’sirida hosil bo‘ladigan chiqish toki spektral tashkil etuvchilari

0

I

Nochiziqli element orqali umumiy holda: birinchi signal va uning garmonikalari (nω₁+nφ₁); ikkinchi signal va uning garmonikalari (mω₂+mφ₂) va kombinasion chastotalar [(nω₁+nφ₁)±(mω₂+mφ₂)] paydo bo‘ladi. Kombinasion chastotalar murakkabligi ularning tartibi N=|n|+|m| orqali aniqlanadi (n va m butun natural sonlar). Masalan ω₁+2ω₂ – uchinchi tartibli, 2ω₁+2ω₂ – to‘rtinchi tartibli kombinasion tashkil etuvchilar hisoblanadilar.

(3.24) ifodadagi tok har bir spektral tashkil etuvchilari qiymati (amplitudasi) mos chastotali spektral tashkil etuvchilar yig‘indisi bilan aniqlanadi.