4-маoруза. Бутун сонларга ъалыасида бщлиш ва унинг асосий ъоссалари р е ж а

4-маoруза. БУТУН СОНЛАРГА ЪАЛЫАСИДА БЩЛИШ ВА УНИНГ АСОСИЙ ЪОССАЛАРИ


Р Е Ж А
1. Бутун сонлар ъалыасида бщлиш
2. Бщлишнинг асосий ъоссалари
3. Ыолдиыли бщлиш

Айталик Z бутун сонлар ъалыаси бщлсин.

1-ТАOРИФ: тенглик щринга эга бщлса, а бутун сон b бутун сонга бщлинади (b бутун сон а ни бщлади) дейилади ва каби белгиланади, бунда а -бщлинувчи, b - бщлувчи, q - бщлинма дейилади.

Бутун сонларни бщлиш ыуйидаги ъоссаларга эга.

. Ъаыиыатан ъам


НАТИЖА.Агар учун
бщлади.
6. Агар ва с сони b га бщлинмаса, a± c ъам b га бщлинмайди.
7. Нолp ъар ыандай бутун сонга бщлинади.
8. Иътиёрий a бутун сон 1 га бщлинади.
9. Агар a¹0 бщлса, у ъол 0 × q= a шартни ыаноатлантирувчи qÎZ сон мавжуд эмас.
10. Агар бщлса, | a |³ |b| бщлади.
Ъаыиыатан ъам бщлса, a=bqÞ |a|=|b| |q| ³ |b|.
НАТИЖА. Агар бщлса, у ъолда a=1 ёки a=-1. |a|£1 ва aÎZ дан a=±1 Эканлиги келиб чиыади. Натижа. Агар бщлса, у ъолда a=b ёки a= -b бщлади.
Ъаыиыатан ъам


2-ТАOРИФ. a бутун сонни b бутун сонга ыолдиыли бщлиш деб
а) a=bq+r ва в) 0 £ r £ |b| шартларни ыаноатлантирувчи q ва r бутун сонларни топишга айтилади, бунда q - тщла бщлмаган бщлинма, r ыолдиы дейилади?
1-ТЕОРЕМА. a ва b¹0 бутун сонлар ыандай бщлмасин бир ъил усул билан a ни b га ыолдиыли бщлиш мумкин.
ИСБОТ. 1. " aÎ Z, b >0 учун ыуйидаги сонлар кетма-кетлигини тузамиз.
... b(-2), b (-1), 0, b ×1, b×2,...
айтайлик bq a дан катта бщлмаган b га каррали бщлган энг катта бутун сон бщлсин, у ъолда bq £ a < b (q+1) бундан 0 £ a-bq< b .
Агар a-bq=r десак, 0 £ r ва a=bq+r тенгликка эга бщламиз.
b ³ 0 бщлганидан |b|=b шунинг учун a=bq+r, 0£r < |b| бу ъол учун теорема тщьри.
2. b <0 бу ъолда (-b)>0 бщлади. Юыоридаги ъолга асосан
a=(-b)q+r, 0 £ r < (-b)=|b| . Демак a=b(-q)+r , 0£r < |b| га эга бщламиз.
3. Теоремани бир хил усул билан ыолдиыли бщлиш мумкинлигини исботлаймиз.
Фараз ыилайлик a=bq+r 0£r<|b| ва a=bq₁+r₁ 0 £ r₁ < |b| бщлсин. Бу ъолда
десак, (2) бщлиб, келиб чиыади.
2-томондан r < |b| r₁ < |b| r₁ - r < |b| . Демак, (2) муносабат q-q =0 бщлгандагина щринга эга бщлади. Яoни q=q бундан, r₁-r=0 r=r₁ , келиб чиыади. Бу эса теоремани тщла исботлайди.
Мисоллар: 1) 17=5 × 3 + 2, -17=5 × (-4)+3, 123=7 × 17+4,
2) Ыандайдир сони 1995 бщлганда ыолдиы 1994 га тенг бщлса. Шу сонни 5 га бщлганда ыолдиыни топинг.
Ечиш: a=1995 × q+1994 a=5× 399q+5 × 398 +4= 5(399q+398)+4.
Демак к=5
3) Ыайси тенглик ыолдиыли бщлиши ифодалайди. 1) 43 =22× 2-1,
2) 43=8 × 5+3, 3) 43= 7 × 5+8 4) 43=21 × 2+1
Ечиш: 2) ва 4) тенгликлар ыолдиыли бщлишни ифодалайди.

ТАЯНЧ ИБОРАЛАР

Ыолдиысиз бщлиш, бщлинувчи, бщлувчи, бщлинма, ыолдиыли бщлиш, тщла бщлмаган бщлинма, ыолдиы.

НАЗОРАТ УЧУН САВОЛЛАР

1. Ыандай ъолда а сони b сонига бщлинади дейилади?

2. Бщлинувчи, бщлинма, бщлувчилар ыандай таoрифланади?
3. Бщлиш транзитивлик хоссасини ыаноатлантирадими?
4. Ыандай сонлар бирга бщлинади?
5. Нол ыандай сонга бщлинади?
6. Ыщшилувчилар бирор сонга бщлинса, йиьинди ъаыида нима дейиш мумкин.
7. Ыолдиыли бщлиш ыандай таoрифланади?
8. Тщла бщлмаган бщлинма ва ыолдиы ыандай таoрифланади.
9. Ыандай сонларни ыолдиыли бщлиши мумкин?
10. Сонларни ыолдиысиз бщлишнинг ыандай хоссаларини биласиз?
А Д А Б И Ё Т Л А Р
1. Р.Н.Назаров, Б.Т.Тошпщлатов, А.Д.Дщсумбетов. Алгебра ва сонлар назарияси. II к. - Т.: Щыитувчи, 1995-272 б.
2. Н.А.Казачек и др. Алгебра и теории чисел. М.: Просвещение 1984.- 192 с.
3. Л.Я.Куликов. Алгебра и теории чисел. М.: Высшая школа.
1979, 559 с.

5-маoруза. Бир неча сонларнинг энг катта-умумий бщлувчиси (ЭКУБ)