4 ma’ruza. Vektorlar va matritsalar bilan ishlash reja

4 - MA’RUZA. VEKTORLAR VA MATRITSALAR BILAN ISHLASH 

 

Reja:  

1.  Vektor va matritsalarni shakllantirish 

2.  Chiziqli algebra masalalarini yechish 

3.  Matritsalar ustida elementar amallar bajarish 

 

Nazariy qism 

Vektor va matritsalarni shakllantirish. Matlab tizimi massivlar ya’ni matritsalar va 

vektorlar  bilan  murakkab  hisoblashlarni  bajarish  uchun  maxsus  mo‘ljallangan  tizim 

hisoblanadi.  Har  bir  berilgan  o‘zgaruvchi  bu  vektor  yoki  matritsa  deb  tushuniladi.  Agar 

vektorning uch elementi berilgan bo‘lsa, uni kvadrat qavs ichida bir-biri bilan probel yoki 

vergul orqali ajratilib qiymatlari beriladi. Masalan:  

>> V=[1 2 3]  

   V =  

1 2 3  

>> V=[1; 2; 3]  

   V =  

1  

2  

3  

Masalan,  agar  x=1  berilgan  bo‘lsa,  u  holda  bu  x  1  ga  teng  bitta  elementdan  iborat 

vektordir.  Agar  vektor  4  ta  elementdan  iborat  desak,  ularning  qiymatlarini  kvadrat  qavs 

ichida probellar bilan ajratilgan holda yozish mumkin.  

>>V = [2 4 6 8]  

    V =  

2 4 6 8 

Ushbu holda vektor satr holida  berilgan.  Agar elementlarni nuqtali  vergul (;)  bilan 

ajratsak, u holda vektor ustunini hosil qilamiz.  

>>V = [2; 4; 6; 8]  

  V = 2  

4  

6  

8  

Matritsalarni  berish  bir  nechta  satrlarni  ko‘rsatishni  talab  etadi.  Satrlarni 

chegaralash uchun nuqtali vergul (;) dan foydalaniladi.  

>>Т = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]  

   Т =  1 2 3  

4 5 6  

7 8 9  

Matritsa  yoki  vektorning  alohida  elementlarini  V(i)  yoki  Т(i,  j)  ko‘rinishidagi 

ifodadan foydalaniladi. Masalan:  

>> Т (3,2)  

  ans =  

8  

Agar  Т(i,  j)  element  x  ning  yangi  qiymatini  o‘zlashtirsa,  u  holda  o‘zlashtirish 

operatori ishlatiladi.  

Т (3,2) = х;  

Т(i)  ifoda  bitta  ustunga  ega  matritsa  elementiga  bitta  indeksi  bilan  beriladi. 

Masalan:  

>>Т (3)  

ans =  

7  

>>Т (8)  

ans =  

6  

 

Matlabda  matritsa  va  vektorlar  ustida  amallar  bajarish  bir  vaqtning  o‘zida  barcha 

arifmetik  amallarni  bajarish  imkonini  beradi.  Buning  uchun  amal  belgisi  oldidan  nuqta 

qo‘yiladi.  MathLabda  vektor  va  matritsalarni  berish  uchun  maxsus  funksiyalar  mavjud. 

Bu  funksiyalar  bir  o‘lchovli  va  ko‘p  o‘lchovli  massivlar  yaratish  uchun  xizmat  qiladi. 

ones funksiyasi massivning birlik elementini tuzadi.  

>> а = ones (3, 2)  

     a =  

1 1  

1 1  

1 1  

zeros funksiya nol elementli massivni yaratadi.  

>> b = zeros (2, 3)  

     b =  

0 0 0  

0 0 0  

Matritsani  berish  bir  nechta  satr  va  bir  nechta  ustunlarni  ko‘rsatishni  talab  etadi.  Satr 

chegaralari nuqtali vergul bilan ajratiladi. Masalan:  

>> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];  

>> M  

     M =  

1 2 3  

4 5 6  

7 8 9  

Matritsa va vektorlarning elementlarini arifmetik ifoda ko‘rinishida ham kiritish mumkin. 

Masalan:  

>> V=[2+2/(3+4),exp(5),sqrt(10)];  

>> V  

      V =  

2.2857 148.4132 3.1623  

Vektor  yoki  matritsalarning  alohida  elementlarini  ko‘rsatish  uchun  V(i)  yoki  M(i,j) 

ko‘rinishidagi ifodadan foydalaniladi. Masalan:  

>> M(2,2) 

ans =  

5  

>> M(3,3)  

ans =  

9  

>> M(3,2)  

ans =  

8  

Matritsalarni shakllantirish va matritsa ustida amallar bajarish uchun matritsaning alohida 

satr  va  ustunlarini  o‘chirish  zarur  bo‘lishi  mumkin.  Buning  uchun  bo‘sh  kvadrat  qavs, 

yani [ ] dan foydalaniladi. Masalan, M matritsa bilan shu bajarib ko‘raylik:  

>> M=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9];  

>> M  

M =  

1 2 3  

4 5 6  

7 8 9  

>> M(:,2)=[ ]  

M =  

1 3  

4 6  

7 9  

Bunda ikkinchi ustun o‘chirildi.  

Chiziqli  algebra  masalalarini  yechish  sohasida  Matlab  keng  imkoniyatlarga  ega. 

Vektor va matritsalar ustida bir qator amallarni Matlabda bajarishni keltirib o‘taylik: 

>> % matritsa elementlariga murojaat  

>> A(1,3)+M(2,2)*A(1,2)-M(1,1)^2  

ans =  

19  

>> % vektorlarni elementlari bo‘yicha qo‘shish  

>> v1=[2 5 -1];  

>> v2=[1 -1 3];  

>> v1+v2  

ans =  

3 4 2  

>> % vektor elementlarini songa qo‘shish  

>> v1+2  

ans =  

4 7 1  

>> % vektor elementlari bo‘yicha arifmetik amallar  

>> 2*v2-v1/4  

ans =  

1.5000 -3.2500 6.2500  

>> % vektor elementlari bo‘yicha ko‘paytirish  

>> v1.*v2  

ans =  

2 -5 -3  

>> % element bo‘yicha darajaga ko‘tarish  

>> v1.^2  

ans =  

4 25 1  

>> % element bo‘yicha darajaga ko‘tarish  

>> v1.^v2  

ans =  

2.0000 0.2000 -1.0000 

>> % elementlari bo‘yicha songa ko‘paytirish  

>> v1./3  

ans =  

0.6667 1.6667 -0.3333  

>> % elementlari bo‘yicha vektorni vektorga bo‘lish  

>> v2./v1  

ans =  

0.5000 -0.2000 -3.0000   

Matritsalar ustida elementar amallar bajarish quyidagicha bo‘lishi mumkin:  

>> % matritsa elementlarini songa ko‘paytirish  

>> A=[1 -1 3;-1 2 0;3 -2 1];  

>> B=2*A  

B =  

2 -2 6  

-2 4 0  

6 -4 2  

>> % matritsa elementlari bo‘yicha amallar bajarish  

>> A/3+2*(B-A)  

ans =  

2.3333   -2.3333    7.0000  

-2.3333   4.6667    0  

7.0000   -4.6667    2.3333  

>> % matritsani transponirlash A' 

>> A'  

ans =  

 1 -1  3  

-1  2 -2  

 3  0  1  

>> % matritsani matritsaga ko‘paytirish 

>> A*B  

ans =  

22 -18  12  

-6   10  -6  

16 -18  20  

>> % matritsani kvadratga ko‘tarish  

>> B^2  

ans =  

44 -36 24  

-12 20 -12  

32 -36 40  

>> % Matritsani elementlarini ko‘paytirish  

>> A.*B  

ans =  

2 2 18  

2 8 0  

18 8 2  

>> % Matritsa elementlari bo‘'yicha darajaga ko‘tarish  

>> B.^3  

ans =  

 8      -8   216  

-8     64    0  

216 -64    8  

A·x=b  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechish  uchun  Matlabda  teskari  bo‘lish  belgisi 

ishlatiladi.  

>> % Ax=b chiziqli sistemani yechish  

>> A=[1 2 5; 1 -1 3; 3 -6 -1];  

>> b=[-9;2;25];  

>> x=A\b  

x =  

 2.0000  

-3.0000 

-1.0000  

>> % Ax=b ni tekshirish  

>> A*x  

ans =  

-9.0000  

2.0000  

25.0000  

 

 

Nazorat savollari: 

1. Vektorlar qanday shakllantiriladi?  

2. Vektorlar ustida qanday amallar bajarish mumkin?  

3. Matritsalar qanday shakllantiriladi?