4 мавзу. Аниқ интегралнинг тадбиқлари текис фигураларнинг юзaларини ҳисоблаш Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш

4 мавзу. АНИҚ ИНТЕГРАЛНИНГ ТАДБИҚЛАРИ
1. Текис фигураларнинг юзaларини ҳисоблаш
2. Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш
3. Аниқ интегралнинг иқтисодга тадбиқи


1. Текис фигураларнинг юзларини ҳисоблаш
Номанфий, узлуксиз функциянинг аниқ интеграли унга мос эгри чизиқли трапециянинг юзига тенглиги юқорида кўрсатилди. Бу аниқ интегрални геометрик маъноси бўлиб, у текис фигураларни юзини ҳисоблашга хизмат қилади.
Аввал кўрсатганимиздек, юқоридан номанфий, узлуксиз функциянингг графиги, пастдан абсцисса ўқининг кесмаси ва ён томонлардан тўғри чизиқлар билан чегараланган эгри чизиқли трапециянинг юзи қуйидагига тенг
(1)
Текис фигураларни юзини ҳисоблашда (1) формуладан фойдаланамиз.
Мисол. Қуйидаги чизиқлар билан чегараланган текис фигуранинг юзини топинг , ва абсцисса ўқининг кесмаси бўлган ҳолда.
Ечиш. Берилган фигура эгри чизиқли трапецияни ташкил этади (1 расм штрихланган), шунинг учун унинг юзи (1) формуладан топилади:

5

-1 0 1 2

Расм 1

Энди , манфий қийматни ёки нолга тенг қийматни қабул қиладиган ҳолни қараймиз. Бундай функциянинг графиги абсцисса
ўқидан пастда жойлашган бўлади (2 расм)

Расм 2

Ёрдамчи , функцияни қараймиз, бу функция номанфий ва узлуксиз бўлади. Бундан келиб чиқадики, (расм 2), эгри чизиқли трапециянинг юзини, яъни функция абсцисса ўқининг кесмаси, ( < ), тўғри чизиқлар билан чегараланган соҳа юзини (1) формула ёрдамида ҳисоблаш мумкин,
(2)
Энди функция графиги, абсцисса ўқининг кесмаси, тўғри чизиқлар билан чегараланган, (расм 2) текис фигуранинг юзини қараймиз. Абсцисса ўқига нисбатан функция графиги функция графигига симметрик, шунинг учун ва фигуралар тенг, демак улар тенг юзаларга эга бўлади. Шундай қилиб, текис фигуранинг юзи ҳам (2) формуладан топилади.
Мисол. Ушбу чизиқлар ва абсцисса ўқининг кесмаси билан чегараланган текис фигуранинг юзини топинг (3-расм).
Ечиш. , функциянинг графиги ўқининг пастки қисмида жойлашган, шунинг учун берилган текис фигуранинг юзини топиш учун (2) формулани тадбиқ этамиз:
.

-1 0

-1
Рис. 6. 3

Айтайлик, , функция кесмада узлуксиз бўлиб, унинг графиги кесманинг абсцисса ўқини, чекли нуқталарда кесиб ўтсин. (1) ва (2) формулалардан фойдаланиб, функция, абсцисса ўқининг кесмаси, тўғри чизиқлар Билан чегараланган текис фигуранинг юзи қуйидаги формула ёрдамида ҳисобланади

(3)
Мисол. функция графиги, , , тўғри чизиқлар ҳамда абсцисса ўқи билан чегараланган текис фигуранинг юзини топинг (расм 4).







1








Расм 4


Ечиш. тенгламани ечиб, функциянинг графиги кесмани абсцисса ўқининг битта нуқтада кесиб ўтишини аниқлаймиз.
Шундай қилиб, кесмада ва кесмада эканлигини аниқлаймиз. (3) формуладан фойдаланамиз
.