4-mavzu: Egri chiziqlar oilasi. 1-tartibli differensial tenglamalarning maxsus yechimlari. To’la differensialli tenglamalar

To’la differensialli tenglamalar.
Quyidagi
(1)
differentsial tenglama "to’la differentsialli" deyiladi, agar lar
(2)
munosabatda bo’lgan uzluksiz, differentsiallanuvchi funktsiyalar bo’lsa.
1 - m i s o l. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Bu yerda , , , ya’ni (2) shart bajarilyapti, demak, berilgan tenglama to’la differentsialli ekan.
Umumiy yechimni (5) formula bo’yicha topamiz:

yoki
.
Bundan
yoki
ga ega bo’lamiz.
5.2. Agar (2) tenglik bajarilmasa, u holda (1) tenglama to’la differentsialli bo’lmaydi. Bunday tenglamalar uchun ayrim hollarda integrallovchi ko’paytuvchi, deb ataluvchi shunday funktsiyani topish mumkinki, berilgan tenglamani shu funktsiyaga ko’paytirilganda, tenglama to’la differentsiallikka aylanadi.
Integrallovchi ko’paytuvchi ni topish uchun berilgan tenglamani ga ko’paytiramiz:
.
Ma’lumki, bu tenglama to’la differentsialli bo’lishi uchun

bo’lishi zarur va yetarlidir. Oxirgi tenglikni quyidagicha yozib olamiz:

yoki
.
Tenglikning ikkala tomonini ga bo’lib yuborsak noma’lum funktsiyaga nisbatan:
(6)
tenglamani hosil qilamiz. Buni umumiy holda yechish juda murakkab, shu sababli uni ayrim xususiy hollardagina hal qilamiz.
Masalan, (1) tenglama faqat ning funktsiyasi bo’lgan integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lsin. U holda

bo’ladi. Shu sababli, (6) tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
Agar bu yerda

ifoda faqat ga bog’liq bo’lsa, u holda bo’ladi.
Aynan shundek, agar

ifoda faqat ga bog’liq bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi

ko’rinishda topiladi.
2 - m i s o l . tenglamaning umumiy ildizini toping.
Yechish. Bu yerda , ya’ni , lekin . Shu sababli,
.
Berilgan tenglamani shu integrallovchi ko’paytuvchiga ko’paytiramiz:
.
Natijada to’la differentsialli (buni tekshirishni o’quvchiga havola qilamiz) tenglama hosil qilamiz.
deb (5) formulani qo’llaymiz:
yoki .
Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi ekan.