4-mavzu mavzu: Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli hosila. Oshkormas va parametrik funksiya hosilalarini hisoblash. Teskari funksiya hosilasi

5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning xosilasini hisoblashni ko’raylik.

y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra

yо=(arcsinх) о====

(arcsinх) о=, (-1<х<1).

Xuddi shuningdek

(arccosх) о=- ; (arctgх) о= ; (arcctgх) о= -.

6. y=lnх bo’lsa, yо= =; agar y=lnu bo’lib y=f(х) bo’lsa,

yо=(lnu) о= =;

agar y=у^в(х)(х) bo’lsa, lny=vlnu – bundan xosila olsak

=vо∙lnu+v∙, yо=у ^в[vо∙lnu+v∙].

Differensiallash qoidalari:

1. (u±v)о=uо±vо 5.y=f(у),у=(х),y=f[(х)] bo’lsa, y_хо= yо∙у_хо yoki y_хо=f _хо(у)∙_хо(х) .

2. (u∙v)о=uоv+uvо 6.y=f(х) ва х=(y) funksiyalar o’zaro teskari bo’lsa, y_хо=.

3. (Cу)о=C∙уо (C-o’згар.) 7. (у^в)о=vу^в-1∙уо+у^вlnu∙vо

4. () о = 8. bo’lsa, y_хо= yoki y_хо= .

Differensial va xosila orasidagi bog’lanish.

Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada differensiallanuvchi bo’lsa, bu funksiyaning x [a,b] nuqtadagi hosilasi fo(x)= (1) tenglik bilan aniqlanar edi. Limitning ta’rifiga ko’ra da nisbat fo(x) ga intiladi. Boshqacha aytganda ular orasidagi farq cheksiz kichik miqdor bo’ladi.

Shuning uchun

=f о(х)+у=f о(х)-х+ х ( да ).

Bundan ko’rinadiki funksiya orttirmasi u ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lar ekan. Shularning birinchisi fo(x) x ga funksiyaning differensiali deyiladi va dy orqali belgilanadi.

dy=fо(х) х (2)

desak (2) dan dх=хох dх=х ekanligini e’tiborga olsak,

dу=f о(х)dх (3)

yoki

=f о(х) (4)

(4) dan ko’rinadiki f о(х) xosilani funksiya differensialining argument differensialiga nisbati deb qarash mumkin ekan.

Differensialning asosiy hossalari.

1.dC=0(C-o’згармас)

2..d(Cу)=Cdy

3.d(u+v)=du+dv

4.d(uv)=vdu+udv

5. d() = (v(х) 0)

Differensialning taqribiy xisoblarga tatbiqi.

Agar y=fo(x)= chekli limit mavjud bo’lsa,

y=fо(х) х+ х (х0 да chекsiz кichiк funksiya)

yoki

y=dy+ х =1+=1+ =1+

=(1+ )=1 y dy f(х+х)-f(х)f о(х) х

yoki

y(х+х)y(х)+y о(х) х
Misol.

sin 31⁰= sin (30⁰+1⁰)= sin (+); х=; х+х=30⁰+1⁰ ₌+;

sin(30⁰+1⁰)= sin (+) sin +∙ ==0,515.