4-mavzu. Shturm teoremasi. Shturm ko‘phadlar sistemasi. Ta’rif

Shturm teoremasi. Agar a va v (ax) ko’phadning ildizlari bo’lmasa, u holda W(a)≥W(v) va W(a)-W(v) ayirma f(x) ko’phadning a va v orasida joylashgan haqiqiy ildizlari soniga teng bo’ladi.
Bu teoremani f(x) ning haqiqiy ildizlarining umumiy sonini topishga ishlatish uchun a sifatida manfiy ildizlarning quyi chegarasini, v sifatida musbat ildizlarning yuqori chegarasini olish lozim.
Misol. f(x)=x⁵+2x⁴-5x³+8x²-7x-3 ko’phadning haqiqiy ildizlari sonini toping.
f(x)= f₀(x)= x⁵+2x⁴-5x³+8x²-7x-3,
f₁(x)=5x⁴+8x³-15x²+16x-7,
f₂(x)=66x³+150x²+172x+61,
f₃(x)=-464x²+1135x+723,
f₄(x)=-32599457x-8486093,
f₅(x)=-1

Shturm sistemasini tuzamiz va bu sistemadan x=-∞, x=∞ dagi ishoralarini aniqlaymiz.

x	f0(x)	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)	F5(x)	Ishora o’zgarishlar soni
-∞	-	+	-	-	+	-	4
+∞	+	+	+	-	-	-	1

Demak, Shturm sistemasi 3 ta ishora o’zgarishini yo’qotadi. Shunga ko’ra f(x) ko’phad 3 ta haqiqiy ildizga ega bo’ladi.

2-Misol. F(x)=x³+4x²-2x-2
f ‘(x)=3x²+8x-2
f₁(x)=22x+5
f₂(x)=1

X	F(x)	F’(x)	F1(x)	F2(x)	Ishora almashishlari soni
-∞	-	+	-	+	3
0	-	-	+	+	2
∞	+	+	+	+	0

Haqiqiy ildizlari soni 3

Manfiy ildizlari soni 2
Musbat ildizlari soni 1
3-misol.
F(x)=x⁴-4x³+x²+6x+2
F¹(x)=4x³-12x²+2x+6
F(x)/ F’(x)=5x²-10x-7 F₁(x)=5x²-10x-7
F’(x)/F₁(x)=x-1 F₂(x)=x-1
F₁(x)/F₂(x)=1 F₃(x)=1
F₁(x) F₂(x) F₃(x) lar qoldiqlar.

x	F(x)	F’(x)	F1(x)	F2(x)	F3(x)	Ishoralar almashishlari soni
-∞	+	-	+	-	+	4
0	+	+	-	-	+	2
∞	+	+	+	+	+	0

Ildizlari soni 4
Manfiy ildizlari 2
Musbat ildizlari 2


4-Misol.
. F(x)=x⁴-6x³+8x²-6x+7
F¹(x)=4x³-18x²+16x-6
F(x)/ F’(x)=11x²-6x-19 F₁(x)= 11x²-6x-19
F’(x)/F₁(x)=3x-7 F₂(x)= 3x-7
F₁(x)/F₂(x)=1 F₃(x)=1
F₁(x) F₂(x) F₃(x) lar qoldiqlar.