4. Tekislikda

1-variant

1. Agar L chiziqli fazoning x,y elementlari va noldan farqli λ soni uchun λx = λy tengligi o‘rili bo‘lsa, u holda x va y elementlarning o‘zaro teng bo‘lishini isbotlang.

2. Agar funksiya E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda funksiya ham E to’plamda o’lchovli bo’lishini isbotlang.
3. Agar va funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda ushbu funksiyalar ham E to’plamda o’lchovli bo’lishini isbotlang:
, .
4. Tekislikda A to’plamni quyidagicha quramiz: kvadratni , , , to’gri chiziqlar yordamida 9 ta bir xil kvadrat bo’lamiz. Asosiy E kvadratning markazida turgan bitta ochiq kvadrat – ni tashlab yuboramiz. Keyin esa, qolgan 8 ta kvadratning har birini 9 ta bir xil kvadratlarga bo’lamiz. Xuddi yuqoridagi, markazdagi 8 ta ochiq kvadratni tashlab yuboramiz. Bu jarayonni cheksiz marta davom ettiramiz. Sanoqli sondagi qadamdan so’ng hosil bo’lgan to’plamni A bilan belgilaymiz ( bu to’plam ”Serpinskiy gilami” deb ataladi). Hosil bo’lgan A to’plamning o’lchovini toping.

2-variant

1. Agar L chiziqli fazoning noldan farqli x elementi uchun λx = µx tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda λ va µ sonlarining o‘zaro teng ekanligini isbotlang.

2. Agar funksiya o’lchovli funksiya ekanligidan funksiya ham o’lchovli bo’lishi kelib chiqmasligini ko’rsating.
3. Agar va funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda ushbu funksiyalar ham E to’plamda o’lchovli bo’lishini isbotlang:
, .
4. Tekislikda B to’plamni quyidagicha quramiz: kvadratni , , , to’gri chiziqlar yordamida 9 ta bir xil kvadrat bo’lamiz. Asosiy E kvadratning uchida turgan 4 ta yopiq kvadratlarning birlashmasini bilan belgilaymiz ( a) rasmda to’plam E kvadratning shtrixlanmagan qismi). Keyin esa, to’plamdagi 4 ta kvadratning har birini 9 ta bir xil kvadratlarga bo’lamiz. Xuddi yuqorida, to’plam ni tanlagan kabi, 16 ta kvadratni birlashmasini bilan belgilaymiz ( b) rasmda to’plam E kvadratning shtrixlanmagan qismi). to’plamning 16 ta kvadratlarini har birini 9 ta bir xil kavadratlarga ajratamiz va to’plamni hosil qilamiz va hokazo.
Ma’lumki, . to’plamlarning umumiy qismi to’plam (bu to’plam ”Serpinskiy qabristoni” deb ataladi) ning o’lchovini toping.


3-variant

1. Barcha haqiqiy koeffisiyentli ko‘phadlar fazosi P[X] da 1, t, t², ..., tⁿ, .... sistema chiziqli erkli ekanligini ko‘rsating.

2. Agar funksiya o’lchovli bo’lsa, u holda funksiya ham o’lchovli bo’lishini isbotlang.
3. Agar va funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda ushbu funksiyalar ham E to’plamda o’lchovli bo’lishini isbotlang:
, .

4. ”Kantor qo’ziqorinchalari” deb atalgan E to’plam quyidagicha qurilgan: E to’plam Oxy tekisligidagi koordinatalari va Oy o’qidagi Kantor to’plami, bo’lgan nuqtalardan iborat. ”Kantor qo’ziqorinchalari” to’plamining o’lchovini toping.