4M17-guruh talabasi Boxodirova Xilolaxon Otabek qizi ning

1-Teorema (Eyler). Agar р tub sonlar to‘plamdagi barcha qiymatlarni qabul qilsa U holda yig‘indi va ning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz etaylik
.
bo’lsin. Agar u, 00-butun son bo’lsa, U holda

Bu yerda debolsak



m ni shartni qanoatlantiruvchi qilib tanlab olamiz. U holda
(15)
bajariladi. Haqiqatan ham, Har bir butun son n, nx, faqat px ni qanoatlantiruvchi tub ko’paytuvchilarga ega bo’ladi.
shart oxirgi tengsizlikning chap tomonini ochib chiqqanda o‘ng tomonidagi barcha hadlarning paydo bo’lishini ta’minlaydi.
Shunday qilib,
(17)
Bu yerdan , ya’ni - uzoqlashuvchi.
Endi ning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish uchun Ushbu yoyilmani
(18)
Oxirgi tengsizlikda debolsak:

Shunday qilib,

qator uzoqlashuvchi. Teorema isbot bo‘ldi.


2. funksiyalari: Chebishevning funksiyalari quyidagi tengliklar yordamida aniqlanadi.
(19)
(19) yig‘indi barcha shartni qanoatlantiruvchi p, m lar bo’yicha olinadi.
Biz ilgari Mangoldt funksiyasini

tenglik yordamida kiritgan edik. Ta’rifdan
(20)

kelib chiqadi.

(19) va (20) dan

Tushunarliki agar bo’lsa, bo’ladi va aksincha. U holda (20) dan


(21)
(4) qator albatta chekli bo’ladi, chunki agar x<2 bo’lsa bo’lsa (3) formuladagi lnpm-marta olinadi. BU holda бўлgani uchun (2) ni
(22)
ko‘rinishda yoza olamiz.
Endi funksiyalar orasidagi bog‘lanishlarni topamiz.
3. Bir noma’lumli taqqoslamalarni yechish
1. Faraz qilaylik f(x) n-darajali butun koeffitsiyentli ko‘phad bo‘lsin, ya’ni . Bu yerda . U holda
(22)
taqqoslamaga n-darajali bir noma’lumli taqqoslama deyiladi.
(22) da soni m ga bo‘linmaydi. (22) ni yechish bu uni qanoatlantiruvchi barchа x larni topish demakdir. Lekinda agar (1) ning yechimlaridan biri bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, u holda taqqoslamani qanoatlantiruvchi barcha sonlar ham (22) ning yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham ni deb yoza olamiz. Buni (22) ga olib borib qo‘ysak:

Bundan taqqoslamaga o‘tsak, ni hosil qilamiz. Shuning uchun ham (1) ning yechimi, deganda alohida olingan birta son emas, balki sinf bitta yechim deb tushuniladi. m modul bo‘yicha m ta chegirmalar sinflari mavjud bo‘lganligi sababli (1 ) ning barcha yechimlarini m moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasidagi chegirmalarni qo‘yib sinab ko‘rish yo‘li bilan topish mumkin. Bu usulga tanlash usuli deyiladi.
1- misol. taqqoslamani yeching.
7 moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasini, tekshirish qulay bo‘lsin uchun absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalar sistemasi ko‘rinishda yozib olamiz. Berilgan taqqoslamaga bu sonlarni qo‘yib tekshirsak faqat uni qanoatlantiradi, demak berilgan taqqoslamaning yagona yechimi.
2-misol. taqqoslamani yeching.
Bu yerda 3 moduli bo‘yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning to‘la sistemasi dan iborat, lekin bularning birortasi ham berilgan taqqoslamani qanoatlantirmaydi, ya’ni berilgan taqqoslama yechimga ega emas.
Agarda berilgan taqqoslamani ixtiyoriy butun son qanoatlantirsa, u holda bu taqqoslamaga айний taqqoslama deyiladi.
Ayniy taqqoslamaga misol sifatida Ferma teoremasidan kelib chiqadigan (р-tub son) taqqoslamani olish mumkin. Shuningdek agar f(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlar m ga bo‘linsa, taqqoslama ayniy taqqoslama bo‘ladi.
2. Birinchi darajasi taqqoslamani hamma vaqt
(2)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Shuning uchun ham biz (2) ni tekshiramiz. Avvalo faraz etaylik (a,m)=1, bo‘lsin. U holda bo‘yicha chegiralarning to‘la sistemasi qabul qilsa ах ham shu sistemasi qabul qiladi. Shuning uchun ham х ning faqat birta х=х₁ qiymatida ах soni в tegishli bo‘lgan sinfga qarashli bo‘ladi. Shu qiymatda ga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, agar (a,m)=1 bo‘lsa, (2) taqqoslama bitta (yagona) yechimga ega bo‘lar ekan.