5-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss va Gauss-Jordan usullari

5-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. 

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning 

Gauss va Gauss-Jordan usullari 

 

 

a) Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining birgalikda yoki birgalikda 

emasligini tekshiring: 









































4

22

25

12

11

2

2

5

4

3

2

1

9

7

5

3

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

Yechish. Buning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsa rangini topamiz: 

1

3

5

7

9

1

2

3

4

5

2 11 12 25 22

A



























 ~ 





















22

25

12

11

2

27

21

15

9

3

9

7

5

3

1

 ~ 





















22

25

12

11

2

9

7

5

3

1

9

7

5

3

1

 

 

2-satr elementlaridan 1-satr elementlarini ayiramiz: 

1

3

5

7

9

0 0

0

0

0

2 11 12 25 22

A





















 

 

2

r A



   

 

1

3

5

7

9 1

1

2

3

4

5 2

2

11 12

25

22 4

A B



























 

bu  matritsa  rangini  topish  uchun  yana  yuqoridagi  ishni  takrorlaymiz,  natijada 

 

A B

 

matritsa quyidagi koʻrinishni oladi. 

 

1

3

5

7

9 1

0

0

0

0

0 1

2 11 12

25

22 4

A B





















,        

1

7

9

1

0

0

1

25 22

4

B









 











 

matritsa rangini topamiz: 

 

1

1

7 9 1

0

0 1

225 154 71;

3

25 22 4

M

B

r B













 

Demak, 

 

3

r A B



 boʻlib, 

 

 

r A

r A B



 va sistema birgalikda emas. 

b)  Quyidagi  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasida  bazis  va  erkli  oʻzgaruvchilarni 

ajratish usuli sonini aniqlang va bazis yechimlarini toping: 

1

2

3

4

1

2

3

4

2

3

3

2

2

4

x

x

x

x

x

x

x

x























 

 

Yechish.  Chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasida  noma’lumlar  soni 

4

n



, 

tenglamalar soni 

2

m



, rangi 

1

2

1 4

5

0,

2.

2

1

r

     





 

Demak, noma’lumlarning bazis guruhlari ikkita noma’lumdan iborat. Bunda 





2

4

4!

1 2 3 4

6

2! 4

2 !

1 2 1 2

C

  









  

. 

Guruhlar  6  ta: 

1

2

1

3

1

4

2

3

2

4

3

4

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

x x

x x x x

x x x x

x x   Bu  juftliklarning  qaysi  birida 

noma’lumlar  oldidagi  koeffitsientlardan  tuzilgan  determinant  noldan  farqli  boʻlsa,  oʻsha 

juftlik noma’lumlari bazis oʻzgaruvchi boʻla oladi. 

1

2

5

0

2

1

  



     

1 3

5

0

2 1

  

    

1

1

0

2

2







 

2

3

5

0

1 1

 



  

2

1

5

0

1

2



  





   

3

1

5

0

1

2



  



.      

Demak,  sistemaning  bazis  oʻzgaruvchularini  besh  hil  usulda  bazis  va  erkli 

oʻzgaruvchilarga ajratish mumkin:

 

 

№  Bazis oʻzgaruvchilar  Erkli oʻzgaruvchilar 

1. 

1

2

,

x x

 

3

4

,

x x

 

2. 

1

3

,

x x

 

2

4

,

x x

 

3. 

2

3

,

x x

 

1

4

,

x x

 

4. 

2

4

,

x x

 

1

3

,

x x

 

5. 

3

4

,

x x

 

1

2

,

x x

 

 

 

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining bazis yechimlarini topish uchun erkli 

oʻzgaruvchilarni nolga tenglaymiz: 

1

1

2

1

1

2

2

11 / 5

11

2

3

2 / 5

5

2

4

2

0

5

0

b

x

x

x

x

x

x

x





 

















































 

1

1

3

2

1

3

3

9 / 5

9

3

3

0

5

2

4

2

2 / 5

5

0

b

x

x

x

x

x

x

x





 



































 











 

2

2

3

3

2

3

3

0

9

2

3

3

9 / 5

5

4

11

11 / 5

5

0

b

x

x

x

x

x

x

x





  































 



















 

2

2

4

4

2

4

4

0

2

2

3

2 / 5

5

2

4

11

0

5

11 / 5

b

x

x

x

x

x

x

x





































 





  













 

3

3

4

5

3

4

4

0

2

3

3

0

5

2

4

9

2 / 5

5

9 / 5

b

x

x

x

x

x

x

x











































  













 

 

Topilgan  bazis  yechimlar  barchasi  xosmas  bazis  yechim,  chunki 

2

r



  ta  noldan 

farqli noma’lumdan tashkil topgan. Agarda bazis yechimlarda noldan farqli noma’lumlar 

soni 

r

 dan kam boʻlsa, xos bazis yechim deyiladi. 

 

c) 

































9

3

2

5

1

4

11

3

2

2

1

3

4

3

4

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

sistemani Gaussning klassik usulida yeching: 

 

 

Yechish. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

2

3

1

2

3

2

3

3

2

4

4

2

4

4

2

4

4

3

2

11 ~

8

13

23 ~

8

13

23

4

5

9

13

17

25

33

99

8

8

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x









 





 





 





























































 



 

3

2

1

3,

2;

4

x

x

x







 

Javob: 





3

;

2

;

4

. 

 

d) 

















































7

8

3

2

3

6

2

9

3

2

2

4

6

3

6

4

6

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

sistemani Gauss-Jordan usuli bilan yeching: 

~

25

6

4

6

20

21

1

0

10

21

1

0

2

3

1

0

4

6

1

1

~

25

6

16

6

20

21

1

0

10

21

1

0

8

12

4

0

4

6

1

1

~

7

6

2

6

8

3

2

3

2

9

3

2

4

6

1

3

4

6

1

1





























































































































 

~

2

27

12

5

4

2

9

0

0

0

2

1

1

0

0

2

3

1

0

2

3

0

1

~

21

12

5

4

6

18

18

0

0

2

1

1

0

0

2

3

1

0

4

6

1

1

~

21

10

4

6

18

18

0

0

12

24

0

0

2

3

1

0

4

6

1

1

~

























































































































 



































































2

3

3

1

2

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

~

2

3

12

5

4

11

4

3

1

0

0

0

2

1

1

0

0

2

1

0

1

0

2

1

0

0

1

~

 

Javob: 





0;2;1 / 3;

3 / 2



. 

 

 

Namunadagi a), b), c), d) misollardan foydalanib topshiriqlarni yeching. 

1 TOPSHIRIQ 

Berilgan  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemalarining  birgalikda  (aniq,  aniqmas) 

yoki birgalikda emasligini tekshiring va birgalikdagi sistemalarni yeching: 

 

1. 





























2

3

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

 

2. 





























1

4

2

2

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

Chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasining  bazis  yechimlarini  toping,  undan  xos 

va xosmas bazis yechimlarni ajrating: 

 

3. 

1

2

3

1

2

3

2

5

2

3

4

x

x

x

x

x

x















 



   

4. 

1

2

3

4

1

2

3

4

3

2

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x







 















 

Berilgan  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemalarining  birgalikda  (aniq,  aniqmas)  yoki 

birgalikda emasligini tekshiring va birgalikdagi sistemalarni yeching: 

 

5. 





























16

4

3

14

3

2

9

2

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

           6. 



















7

3

4

1

2

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

 

7. 























1

7

4

1

5

3

3

2

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

 

 

 

8. 



















































7

4

11

3

4

7

12

2

2

3

2

4

3

2

5

3

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

   

9. 









































5

16

3

8

6

5

12

10

7

1

4

4

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

   

10. 





























5

12

15

3

3

8

10

2

1

4

5

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

11. 































1

4

3

3

6

9

1

2

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

12. 





























0

5

2

4

4

3

18

4

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  13. 





























0

5

2

4

5

3

5

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

   

14. 



















2

3

4

2

1

2

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

 

15. 



















5

3

4

2

1

2

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

 

16. 









































4

22

25

12

11

2

2

5

4

3

2

1

9

7

5

3

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

17. 













































3

5

3

2

6

10

2

3

14

3

2

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

   

18. 



































3

6

4

7

5

5

3

4

7

2

4

2

5

3

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

Chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasining  bazis  yechimlarini  toping,  undan  xos 

va xosmas bazis yechimlarni ajrating: 

 

19. 

1

2

3

4

1

2

3

4

2

0

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x























 

 

20. 

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

4

0

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















 



 







 

 

21. 

1

2

3

4

1

2

4

1

2

3

4

3

2

2

18

2

0

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x











  



















   

22. 

1

2

3

4

1

2

3

4

2

3

4

2

1

2

2

3

18

2

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



 































 

 

Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss va Gauss-Jordan usuli bilan yeching: 

23. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

3

2

5

2

3

1

2

3

11

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























   

24. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

6

2

3

4

20

3

2

5

6

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























25. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

3

2

9

2

5

3

4

5

6

2

18

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























  

 26. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

1

2

2

4

4

4

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x





 









 









 



 

27. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

4

3

4

2

11

3

2

4

11

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























 28. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

3

4

2

8

2

3

4

5

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x















 



 







 

 

29. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

8

3

6

0

4

3

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























   

  30. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

2

3

3

5

3

5

6

9

x

x

x

x

x

x

x

x

x





 



















 



 

2 TOPSHIRIQ 

Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss va Gauss-Jordan usuli bilan yeching: 

 1. 

1

2

1

3

1

2

3

7

5

31

4

11

43

2

3

4

20

x

x

x

x

x

x

x











 









 



 

    2. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

4

31

5

2

20

3

9

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























  3. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

6

2

3

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















   



 

4. 

1

2

3

1

2

3

2

3

2

2

0

6

x

x

x

x

x

x

x

x

x









   



   



 

  5. 

1

2

1

2

3

1

2

3

3

5

2

0

2

4

15

x

x

x

x

x

x

x

x







   













   

   6. 

1

3

1

2

3

1

2

3

5

4

1

2

0

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x







  















 

7. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

2

4

3

3

7

2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















  





   8.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

2

2

2

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x









 

















  

9. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

5

10

3

7

4

3

2

2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















 







 

  10. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

5

6

4

3

3

3

2

2

4

5

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























 

11. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

3

2

4

6

2

3

1

5

3

2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x





 









 









 



  12. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

5

2

3

2

2

2

5

0

3

4

2

10

x

x

x

x

x

x

x

x

x





 



















 



 

13. 

1

2

1

3

1

2

3

2

3

3

4

1

2

2

x

x

x

x

x

x

x











 



  

 



   

14. 

1

2

3

1

2

1

2

3

2

3

4

4

6

2

2

0

x

x

x

x

x

x

x

x



























  15. 

1

2

3

1

3

1

2

3

2

2

6

3

2

8

1

x

x

x

x

x

x

x

x

















   



 

16. 

2

3

1

2

3

2

3

3

2

5

2

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

















 





 

17. 

1

3

1

2

1

2

3

2

5

3

9

2

1

x

x

x

x

x

x

x















  





 

18. 

1

2

3

2

3

1

2

2

4

2

3

2

x

x

x

x

x

x

x

















  



 

 

19..  Korxona  uch  xildagi  xomashyoni  ishlatib  uch  turdagi  mahsulot  ishlab 

chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan. 

1-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

1 

2 

3 

1

S

 

2 

1 

2 

6 

2

S

 

3 

0 

2 

8 

3

S

 

1 

1 

-1 

1 

 

 

Berilgan  xomashyo  zahirasini  ishlatib,  mahsulot  turlari  boʻyicha  ishlab  chiqarish 

hajmini aniqlang. 

 

20. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. 

Ishlab chiqarish xarakteristikalari 2-jadvalda berilgan. 

2-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

 

1 

2 

3 

1

S

 

2 

1 

1 

6 

2

S

 

3 

0 

2 

8 

3

S

 

1 

1 

0 

3 

 

 

Berilgan  xomashyo  zahirasini  ishlatib,  mahsulot  turlari  boʻyicha  ishlab  chiqarish 

hajmini aniqlang. 

 

21. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. 

Ishlab chiqarish xarakteristikalari 3-jadvalda berilgan. 

3-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

1 

2 

3 

1

S

 

1 

1 

2 

4 

2

S

 

3 

0 

2 

5 

3

S

 

1 

4 

1 

6 

 

Berilgan  xomashyo  zahirasini  ishlatib,  mahsulot  turlari  boʻyicha  ishlab  chiqarish 

hajmini aniqlang. 

 

22. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. 

Ishlab chiqarish xarakteristikalari 4-jadvalda berilgan. 

4-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

1 

2 

3 

1

S

 

3 

2 

2 

9 

2

S

 

2 

1 

5 

9 

3

S

 

5 

3 

6 

17 

 

Berilgan xomashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini 

aniqlang. 

23. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab 

chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan. 

1-jadval 

Xom-ashyo 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo  Xom-ashyo 

turlari 

sarflari 

zahirasi 

1 

2 

3 

1

S

 

1 

1 

2 

6 

2

S

 

3 

0 

3 

7 

3

S

 

2 

1 

-1 

4 

 

 

Berilgan  xomashyo  zahirasini  ishlatib,  mahsulot  turlari  boʻyicha  ishlab  chiqarish 

hajmini aniqlang. 

24. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab 

chiqarish xarakteristikalari 2-jadvalda berilgan. 

2-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

 

1 

2 

3 

1

S

 

2 

1 

1 

6 

2

S

 

3 

0 

2 

8 

3

S

 

1 

1 

0 

3 

 

 

Berilgan  xomashyo  zahirasini  ishlatib,  mahsulot  turlari  boʻyicha  ishlab  chiqarish 

hajmini aniqlang. 

 

25. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. 

Ishlab chiqarish xarakteristikalari 3-jadvalda berilgan. 

3-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

1 

2 

3 

1

S

 

5 

1 

2 

4 

2

S

 

3 

0 

4 

8 

3

S

 

3 

4 

1 

2 

 

Berilgan  xomashyo  zahirasini  ishlatib,  mahsulot  turlari  boʻyicha  ishlab  chiqarish 

hajmini aniqlang. 

 

26. Korxona uch xildagi xomashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. 

Ishlab chiqarish xarakteristikalari 4-jadvalda berilgan. 

4-jadval 

Xom-ashyo 

turlari 

Mahsulot turlari boʻyicha xom-ashyo 

sarflari 

Xom-ashyo 

zahirasi 

1 

2 

3 

1

S

 

1 

2 

2 

9 

2

S

 

2 

-5 

5 

8 

3

S

 

-6 

3 

6 

15 

 

Berilgan xomashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini 

aniqlang. 

Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss va Gauss-Jordan usuli bilan yeching: 

27. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

4

3

2

3

7

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















   



   28.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

1

3

2

2

2

3

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

x









   













    

29. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

5

10

2

2

4

2

3

2

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x















 



 







 

  30. 

1

2

3

1

2

3

1

2

3

5

6

4

2

3

2

2

4

5

4

6

x

x

x

x

x

x

x

x

x









   













 

 

 

Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar roʻyxati 

1.  Mike Rosser. Basic mathematics for economists. London and New York. 1993, 2003. 

2.  M.Harrison  and  P.Waldron.  Mathematics  for  economics  and  finance.  London  and 

New York. 2011. 

3.  M.Hoy,  J.Livernois  et.al.  Mathematics  for  Economics.  The  MIT  Press. 

London&Cambridge. 2011. 

4.  Robert M. Leekley. Applied Statistics for Businiess and Economics. USA. 2010. 

5.  Alpha  C.  Chiang,  Kevin  Wainwright.  Fundamental  Methods  of  Mathematical 

Economics. N.-Y. 2005. 

6.  Xashimov  A.R.,  Xujaniyazova  G.S.  Iqtisodchilar  uchun  matematika.  O’quv 

qo’llanma. “Iqtisod-moliya”. 2017. 386 b.. 

7.  Бабаджанов  Ш.Ш.  Математика  для  экономистов.  Учебное  пособие.  “Iqtisod-

moliya”. 2017. 746 с.