5-Ma’ruza Mavzu: Differensial va integral hisobning tatbiqlarini o’rgatishda kasbga yo’naltirish. Kombinatorika elementlarini o’rgatishda kasbga yo’naltirish. Differensial hisobning asosiy xossalari

1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. . 12.
6. . 13.
7.
Integrallash usullari.
1.O’zgaruvchini almashtirib integrallash usuli.
Ushbu aniqmas integralni hisoblash talab etilgan bo’lsin. Bunda funksiya biror intervalda aniqlangan va ko’rinishda yozish mumkin deylik. Agar funksiya intervalda boshlang’ich ga ega bo’lib, funksiya intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli.
3-misol. ni hisoblang
Yechilishi:
kabi almashtiramiz.

.

2. Bo’laklab integrallash usuli.

va funksiya intervalda uzluksiz va hosilalarga ega bo’lsin.U holda

tenglik o’rinli bo’lib, bu tenglikka bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
4-misol. ni hisoblang.
Bu intervalda deb olamiz. Bundan kelib chiqadiki .
.
Rasional funksiyalarni integrallash.
1. Sodda kasrlarni integrallash.
Biror
(1)
ko’phad berilgan bo’lsin, bunda o’zgarmas haqiqiy sonlar, esa ko’phadning darajasi.

ga kasr rasional funksiya deyiladi, agar bo’lganda to’g’ri kasr, aks holda noto’g’ri kasr deyiladi.

Ushbu
(2)
ko’rinishdagi kasrlar sodda kasrlar deyiladi, bunda hamda lar o’zgarmas sonlar, kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas.
Har qanday to’g’ri kasr (2) sodda kasrlar orqali ifodalanadi.
Agar to’g’ri kasr maxrajidagi ko’phad, quyidagi

ko’rinishda bo’lib, ko’phad esa ga bo’linmasa, u holda berilgan to’g’ri kasr quyidagi

ko’rinishda ifodalanishi mumkin, bunda -o’zgarmas haqiqiy sonlar, -ko’phad.
Agar ko’phad

ko’rinishga ega bo’lib ( kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas), ko’phad ga bo’linmasa, u holda berilgan to’g’ri kasr quyidagi ko’rinishda ifodalanishi mumkin:

bunda -o’zgarmas sonlar, -ko’phad.
Sodda kasrlarning aniqmas integrallarini hisoblaymiz.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   bu integralni hisoblashda ikkita hol bo’lishi mumkin.
   

a) kavadrat uchhad to’liq kvadrat bo’lsa, I-integral 1 va 2 hollarga keltiriladi.
b) Agar kavadrat uchhad to’liq kvadratga kelmasa, bu holda uni to’liq kvadratga to’ldirib integrallash mumkin.

5-misol.

, desak


Izoh: Ma’lumki, elementar funksiyaning hosilasi yana elementar funksiya bo’lar edi, lekin integral olish uchun bu tasdiq o’rinli bo’lishi shart emas, ya’ni ba’zi bir elementar funksiyalarning integrallari elementar funksiya bo’lmay qolishi mumkin. Masalan, Ushbu