6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari

2-Ta’rif.  
va funksiyalarning ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi 
deb 
(12) 
tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi. 
6-Misol. 
,
funksiyalarning o’ramasini toping. 
► Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz 
|
|
| 
| 
Demak, 
◄ 
11-Teorema (Tasvirlar ko’paytmasi) Agar 
, , u 
holda 
funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar ko’paytmasiga teng: 
(13) 
► 
o’ramaning tasvirini hisoblaymiz 
[ ]
( 
)
Bu ikki karrali integralning integrallash sohasini qaraymiz: 
(2 rasm). Agar integrallash tartibini o’zgartirsak 
. Demak 
t
t
1- rasm 
t=𝜏 
𝜏 
t 
2- расм 

---

9 
[ ]
Ichki integralda 
ko’rinishda almashtirish bajaramiz, u holda 
[ ]
O’ng tomondagi ifoda ikkita integralning ko’paytmasi bo’lib, ular mos ravishda 
va funksiyalarning tasvirlaridan iborat. 
Demak 
. ◄ 
7-Misol. Funksiyaning originalini toping: 
 
► Tasvirni ko’paytma shaklida yozamiz: 
Bu yerdagi ikkita ko’paytuvchi mos ravishda 
va funksiyalarning 
tasvirlari. Tasvirlar ko’paytmasi formulasiga asosan 
( 
)
[ ]
[
] |
Demak 
bo’lar ekan.◄ 
Tasvirlar ko’paytmasining maxsus ko’rinishi, ya’ni
ning 
originalini topish formulasini keltirib chiqaramiz. Quyidagicha almashtirish 
bajaramiz 
Originalni differensiallash teoremasiga ko’ra
. 
Demak, tasvirlar ko’paytmasi va Laplas almashtirishining chiziqliligiga ko’ra 
 
yoki 
(14) 
(14) tenglik Dyuamel formulasi deb ataladi. 
Endi Laplas almashtirishining bu bo’limda o’rganilgan xossalari, ular 
yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus 
funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz. 
Original- tasvirlar jadvali 
Original 
Tasvir 

---

10 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 

---

11 
21. 
22. 
23. 
24.