6-mavzu chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentlli yuqori tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

6-MAVZU

CHIZIQLI OʻZGARMAS KOEFFITSIYENTLLI YUQORI TARTIBLI BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

Nazariyada va amaliyotda ikki xil tipdagi tenglamalarni farqlashadi – bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan tenglamalar.

Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar quyidagicha koʻrinishda boʻladi:

Oʻng tomoni esa qatʼiy nol boʻlishi lozim.

Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun:

1. 
   Xarakteristik tenglamani tuzish lozim:
   

Tenglama -ni oʻrniga , -ni oʻrniga qoʻyib hosil qilinadi, y ni oʻrniga hech nima yozmaymiz.

2. 
   – oddiy kvadratik tenglamani yechamiz,
   

Ildizlarga qarab uch xil holatga duch kelishimiz mumkin:

1. 
   Agar D>0 boʻlsa, – turli xil haqiqiy ildizga ega boʻlamiz, bunday
   

holatda differensial tenglama ildizlari quyidagicha boʻladi:

konstantalar

Tushunarliki – larning birortasi 0 boʻlsa, umumiy yechim (masalan boʻlsin)

koʻrinishni oladi.

2. 
   Agar xarakteristik tenglama ikkita karrali yechimga ega boʻlsa ,
   

yaʼni D=0 boʻlsa, u holda bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi

konstantalar

Agar ikkala yechim ham boʻlsa, umumiy yechim yana soddalashadi:

konstantalar.

Aynan primitiv differensial tenglamaning yechimi boʻladi:

3. 
   Agar D<0 boʻlsa, xarakteristik tenglama qoʻshma kompleks ildizlarga ega
   

boʻladi:

u holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidaicha koʻrinishda boʻladi:

, konstantalar

Agar kompleks yechimlar toza mavhum sonlardan iborat boʻlsa, yaʼni boʻlsa

u holda yechim quyidagicha boʻladi:

, konstantalar

har bir m-karrali ildiz boʻlsa, u holda unga mos umumiy yechim

koʻrinishda boʻladi, -konstantalar.