6-mavzu: Nokorrekt masalalarning turg‘unlik bahosi. Reja

6-MAVZU: Nokorrekt masalalarning turg‘unlik bahosi.
Reja:

1. 
   Sonli differensiallash masalaning turg‘unlik bahosi.
   
2. 
   Parabolik turdagi tenglama uchun teskari Koshi masalasining turg‘unlik bahosi.
   
3. 
   Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasining turg‘unlik bahosi.
   

Agar operator uchun funksiyaning ko‘rinishi ma’lum bo‘lsa, u holda shartli korrekt masalasining shartli turg‘unlik bahosiga ega bo‘lishimiz mumkin. Misol sifatida ikkita nokorrekt masalani qarab chiqamiz.
Misol 1. Teskari vaqtli parabolik tenglama uchun Koshi masalasini qarab chiqamiz:
, , , ;
, ;
, .
- ushbu masalaning aniq yechimi bo‘lsin. Agar quyidagi buzilgan masalaning yechimini orqali belgilasak:
, , ;
, ;
, ;
u holda , , shartlardan quyidagi kelib chiqadi:
, .
Misol 2. Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
, , ; (1)
, ; (2)
, . (3)
Quyidagi chegaraviy shartlarni qo‘shishi orqali sohani qarab chiqish bilan cheklanamiz:
, . (4)
da ni topish masalasi yechiladi, agar da ning izi topilsa, aynan
, . (5)
Aslida, ni bilgan holda, (1), (2), (4), (5) Laplas tenglamasi uchun korrektli Dirixle masalasini yechish mumkin, va dagi boshlang‘ich masalaning aniq yechimni topish mumkin.
Faraz qilamizki, (1)-(4) masalaning aniq yechimi mavjud, u (5) izga va ga ega. Shunda, agar buzilgan masalaning yechimi
, , ;
, , ;
, ;
va shu bilan birga bahoni qanoatlantiradigan bo‘lsa, u holda
, .
Aniqlanish. Aytib o‘tamizki, shartli-korrektlik masalasi uchun korrektlik to‘plamida shartli turg‘unlik bahosiga ega bo‘lamiz, agar shunday o‘suvchi moddiy funksiya topilgan bo‘lsa ya’ni

1. 
   ;
   
2. 
   bahoni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy , lar uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
   

,
bu yerda - tenglamaning yechimi, esa - tenglamaning yechimi.
Xulosa. Shartli turg‘unlik bahosiga ega bo‘lish mumkin, agar aniq yechim ko‘rinishda tasvirlansa, bu yerda - yetarlicha yaxshi operator, esa qandaydir sharga tegishli. Aytilganlarni sodda misol sifatida keltiramiz. Quyidagicha bo‘lsin:
.
- o‘zaro bog‘langan chiziqli kompaktli operator, va - xususiy qiymatlar va operatorning xususiy funksiyalarining ortonormallangan ketma-ketligi. Shunda
, ,
, .
Bu yerda , . Shunda, agar , va bo‘lsa, u holda
,
ya’ni
.
Bundan ham umumiy holda korrektlik to‘plamini quyidagi ko‘rinishda belgilash mumkin:
, , .
Shunda operatorning uzluksizlik moduli da

yuqoridan baholash mumkin, ya’ni quyidagi shartli turg‘unlik bahosiga ega bo‘lish mumkin:
.